A média recomendada de horas de sono é 8 h . Uma amostra com 40 estudantes mostrou média de 7,4 \mathrm{~h}, com desvio padrão de 1,2 \mathrm{~h}. Teste, ao nível de 1 \%, se os estudantes dormem menos do que o recomendado.

Passo 1

Dados fornecidos e o que a questão pede:
  • Média recomendada: 8 horas (valor hipotético).
  • Tamanho da amostra: n=40.
  • Média amostral: \overline{x}=7,4 horas.
  • Desvio padrão amostral: s=1,2 horas.
  • Nível de significância: \alpha=0,01.
Pergunta: testar, ao nível de 1\%, se os estudantes dormem menos do que a média recomendada (ou seja, se a média da população é menor que 8 horas).

Passo 2

Escolha do teste e formulação das hipóteses:
  • O enunciado não fornece a variância populacional, apenas o desvio amostral s. Nesse caso usamos o teste t de Student para a média (com n-1 graus de liberdade).
  • Hipóteses (teste unilateral à esquerda):
H_0:\\ \mu = 8
H_1:\\ \mu < 8
Aqui \mu é a verdadeira média de horas de sono dos estudantes. Rejeitaremos H_0 se a estatística de teste cair na região muito negativa (muito abaixo de 8).

Passo 3

Fórmula da estatística de teste e explicação das partes:
A estatística t é dada por
t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde
  • \overline{x} é a média amostral (aqui 7,4),
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui 8),
  • s é o desvio padrão amostral (aqui 1,2),
  • n é o tamanho da amostra (aqui 40),
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (uma medida de quanto a média amostral varia em torno da média verdadeira).
Agora vamos calcular passo a passo o erro padrão.

Passo 4

Cálculo do erro padrão e da estatística t:
  • Primeiro \sqrt{n}=\sqrt{40}. Calculando:
\sqrt{40}\approx 6,3246.
  • Erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,2}{6,3246}\approx 0,1897.
  • Diferença entre média amostral e hipótese:
\overline{x}-\mu_0 = 7,4-8 = -0,6.
  • Estatística t:
t=\frac{-0,6}{0,1897}\approx -3,162.
Interpretação: quanto mais negativo for t, mais evidência contra H_0 na direção de H_1.

Passo 5

Determinação da região crítica (valor crítico) e comparação:
  • Graus de liberdade: \nu=n-1=39.
  • Para um teste unilateral à esquerda com nível \alpha=0,01, o valor crítico é o quantil de t tal que a área à esquerda é 0,01. Nas tabelas de Student, o valor crítico positivo para a cauda direita com probabilidade 0,99 é aproximadamente t_{0,99,39}\approx 2,423. Para a cauda esquerda usamos o simétrico negativo:
\text{Região de rejeição: } t \le -2,423.ãçã
  • Nossa estatística calculada foi t\approx -3,162. Como
-3,162 \le -2,423,
a estatística está na região de rejeição, portanto rejeitamos H_0.

Passo 6

Cálculo aproximado do p-valor e interpretação final:
  • O p-valor é P(T_{39}\le -3,162), onde T_{39} tem distribuição t com 39 graus de liberdade.
  • Pelo valor de t e tabelas/softwares, o p-valor unilateral é muito pequeno; uma aproximação razoável é
\text{p-valor}\approx 0,0016\\ (\text{aprox.}).
(Como comparação, a aproximação normal daria P(Z\le -3,162)\approx 0,0008, mas a distribuição t dá um p-valor um pouco maior por ter caudas mais pesadas.)
  • Como o p-valor \approx 0,0016 é bem menor que \alpha=0,01, confirmamos a decisão: rejeita-se H_0.
Significado prático: há evidência estatística, ao nível de 1\%, de que a verdadeira média de horas de sono dos estudantes é menor do que 8 horas. Ou seja, os estudantes, em média, dormem menos que o recomendado.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidências ao nível de 1\% de que os estudantes dormem menos que 8 horas.
Estatística de teste: t\approx -3,162.
p-valor (unilateral) \approx 0,0016.

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