Em um padrão de difração de fenda dupla de Young com luz de comprimento de onda 500 nm , aparecem 11 franjas claras de interferência entre os primeiros mínimos do padrão de difração. O primeiro mínimo difração coincide exatamente com um máximo de interferência. Justifique suas respostas.
(a) Qual é a razão d/a entre a separação entre as fendas (d) e a largura de cada fenda (a)? (1.0 ponto)
(b) Qual é a razão entre as intensidades da franja clara de ordem 2 e da franja central? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado trata de um arranjo de Young com duas fendas de largura a e separação d, iluminado por luz de comprimento de onda \lambda=500\\ \text{nm}. Aparecem 11 franjas claras de interferência entre os primeiros mínimos da difração de cada fenda, e o primeiro mínimo de difração coincide precisamente com um máximo de interferência. Para resolver, vamos usar as condições de máximo de interferência e mínimo de difração:
\text{interferência: } d\sin\theta = m\,\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}ê
\text{difração: } a\sin\theta = n\,\lambda,\quad n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.çã

Passo 2

Como o primeiro mínimo de difração ( n=1) coincide com um máximo de interferência de ordem m_0, basta igualar os dois ângulos:
a\sin\theta = \lambda \quad\text{e}\quad d\sin\theta = m_0\,\lambda \;\Longrightarrow\; \frac{d}{a} = m_0.
Entre os primeiros mínimos de difração (em -\theta e +\theta) há todas as franjas de interferência de m=-m_0,\dots,0,\dots,+m_0, totalizando 2m_0+1 máximos. Como isso é igual a 11, temos
2m_0 + 1 = 11 \quad\Longrightarrow\quad m_0 = 5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{a} = 5.

Passo 3

A intensidade de um máximo de ordem m é dada pelo produto do fator de difração da fenda simples e do fator de interferência:
I(m) = I_0\;\Bigl[\frac{\sin\beta}{\beta}\Bigr]^2\;\cos^2\alpha
com
\alpha = \frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}, \quad \beta = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}.
Num máximo de interferência de ordem m vale \cos^2\alpha=1 e
\sin\theta = \tfrac{m\lambda}{d}, logo
\beta = \pi\,\frac{a}{\lambda}\,\sin\theta = \pi\,\frac{a}{\lambda}\,\frac{m\lambda}{d} = m\pi\,\frac{a}{d}.
Assim,
I(m) = I_0\, \Bigl[\frac{\sin\bigl(m\pi\,\frac{a}{d}\bigr)}{m\pi\,\frac{a}{d}}\Bigr]^2.

Passo 4

Para a franja de ordem m=2 e sabendo que \tfrac{d}{a}=5 (logo \tfrac{a}{d}=\tfrac15):
I_2 = I_0\, \Bigl[\frac{\sin\bigl(2\pi\,\tfrac{a}{d}\bigr)}{2\pi\,\tfrac{a}{d}}\Bigr]^2 = I_0\, \Bigl[\frac{\sin\bigl(\tfrac{2\pi}{5}\bigr)}{\tfrac{2\pi}{5}}\Bigr]^2.
Numericamente \sin(2\pi/5)\approx0,9511 e \tfrac{2\pi}{5}\approx1,2566, então
\frac{I_2}{I_0} = \Bigl(\frac{0,9511}{1,2566}\Bigr)^2 \approx0,57.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d}{a}=5.
(b) \displaystyle \frac{I_2}{I_0} =\Bigl[\frac{\sin(2\pi/5)}{2\pi/5}\Bigr]^2\approx0,57.

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