Num experimento de difração na fenda dupla de Young, o comprimento de onda incidente é 600 nm , a largura de cada fenda é de 15 \mu \mathrm{~m} e a distância entre as fendas é de 0,1 \mathrm{~mm}.
(a) Quantas franjas claras de interferência aparecem entre os primeiros minimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central? Justifique detalhadamente. (1,0 ponto)
b) Qual é a razão entre as intensidades da franja clara de ordem 4 e da franja central? Justifique detalhadamente. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de difração em fenda dupla de Young com comprimento de onda \lambda=600\\ \text{nm}, largura de cada fenda a=15\\ \mu\text{m} e separação entre fendas d=0,1\\ \text{mm}.
(a) Pede o número de franjas claras de interferência que aparecem dentro da região delimitada pelos primeiros mínimos da envoltória de difração em cada lado do máximo central.
(b) Pede a razão entre a intensidade da franja clara de ordem m=4 e a intensidade da franja central.

Passo 2

Para entender a parte (a), lembramos que
  1. Os mínimos da envoltória de difração de uma fenda única ocorrem quando
a\sin\theta=\pm\lambda\quad\Rightarrow\quad\sin\theta_1=\pm\frac{\lambda}{a}.
  1. As franjas claras de interferência na fenda dupla ocorrem em ângulos \theta_m tais que
d\sin\theta_m=m\,\lambda,\quad m=0,\pm1,\pm2,\dots
Para que uma franja de interferência apareça dentro da envoltória central, deve valer |\sin\theta_m|\le|\sin\theta_1|. Logo
\biggl|\frac{m\,\lambda}{d}\biggr|\le\frac{\lambda}{a} \quad\Longrightarrow\quad |m|\le\frac{d}{a}.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
\frac{d}{a}=\frac{0,1\\ \text{mm}}{15\\ \mu\text{m}} =\frac{1\times10^{-4}}{15\times10^{-6}} \approx6{,}67.
Como m é inteiro, os máximos possíveis são
m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5,\pm6,
totalizando 2\times6+1=13 franjas claras dentro do primeiro mínimo à direita e à esquerda do máximo central.

Passo 4

Para a parte (b), usamos a distribuição de intensidade combinada de difração e interferência:
I(\theta)=I_0\cos^2\!\biggl(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\biggr)\, \biggl[\frac{\sin(\pi a\sin\theta/\lambda)}{\pi a\sin\theta/\lambda}\biggr]^2.
Nos picos de interferência de ordem m vale \pi d\sin\theta_m/\lambda=m\pi, logo \cos^2(m\pi)=1. A razão entre a intensidade da franja de ordem m e a central ( m=0) fica apenas pelo fator de difração:
\frac{I_m}{I_0} =\biggl[\frac{\sin(\beta_m)}{\beta_m}\biggr]^2, \quad \beta_m=\pi\frac{a}{\lambda}\sin\theta_m =\pi\frac{a}{d}\,m.

Passo 5

Para m=4 temos
\frac{a}{d}=0{,}15 \quad\Rightarrow\quad \beta_4=4\pi\,(0{,}15)=0{,}6\pi.
Portanto
\frac{I_4}{I_0} =\biggl[\frac{\sin(0{,}6\pi)}{0{,}6\pi}\biggr]^2 \approx\biggl[\frac{0{,}9511}{1{,}884}\biggr]^2 \approx0{,}255.

Resposta

(a) Aparecem 13 franjas claras entre os primeiros mínimos da envoltória.
(b) A razão entre a intensidade da franja de ordem 4 e a franja central é
\frac{I_4}{I_0} =\biggl[\frac{\sin(0{,}6\pi)}{0{,}6\pi}\biggr]^2 \approx0{,}255\\ (\text{ou }25{,}5\%).

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