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2 -8 Valores de e^z. Calcule e^z na forma u+i v e|e^z|, onde z é igual a:
9 pi i / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular e^z na forma u + iv e seu módulo |e^z| para z = tfrac9pi i2. O conteúdo aqui é exponencial de número complexo e vamos precisar usar a fórmula de Euler.

Passo 2

Como z é puramente imaginário, escrevemos e^itheta = costheta + isintheta. No nosso caso, theta = tfrac9pi2. Primeiro reduzimos o ângulo módulo 2pi:
tfrac9pi2 = 4pi + tfracpi2, e como cos(4pi + tfracpi2) = costfracpi2 = 0 e sin(4pi + tfracpi2) = sintfracpi2 = 1, temos:
e^tfrac9pi i2 = cosl(tfrac9pi2r) + isinl(tfrac9pi2r) = 0 + i,1 = i

Passo 3

O módulo de e^z depende apenas da parte real de z, e Re(z)=0, logo
|e^z| = e^Re(z) = e^0 = 1

Resposta

e^tfrac9pi i2 = i, u=0, v=1 e |e^z| = 1.

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