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16-19 Continuidade. Descubra (e justifique) se f(z) é continua em z=0, considerando que, se f(0)=0 e para z neq 0, a função f é igual a:
[Re(z^2)] /|z|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre continuidade de funções, que faz parte do estudo de limites e comportamento das funções. A questão pede para descobrir se a função $ f(z) $ é contínua em $ z = 0 $. A função está definida assim:
  • $ f(0) = 0 $
  • Para $ z \neq 0 $, $ f(z) = \frac{\operatorname{Re}(z{2})}{|z|{2}} $
Então, para resolver, a gente precisa entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ f(z) $ é contínua em um ponto $ z = a $ se o limite de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima de $ a $ for igual a $ f(a) $. Ou seja:
f(z)
No nosso caso, $ a = 0 $, então precisamos calcular $ \lim_{z \to 0} f(z) $ e ver se é igual a $ f(0) = 0 $.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(z) $ quando $ z $ se aproxima de 0. Sabemos que para $ z \neq 0 $:
f(z)
Para facilitar, vamos escrever $ z $ em forma polar: $ z = re^{i\theta} $, onde $ r = |z| $ é a magnitude de $ z $ e $ \theta $ é o argumento de $ z $.
Então, $ z^{2} = r^{2} e^{i2\theta} $, e a parte real de $ z^{2} $ é:
z
Substituindo isso na expressão de $ f(z) $:
z neq 0
Então, o limite de $ f(z) $ quando $ z \to 0 $ é:
f(z) = Re(z^2)|z|^2

Passo 4

Observamos que $ \cos(2\theta) $ não depende de $ r $, ou seja, o valor do limite depende apenas de $ \theta $. Isso significa que o limite pode ter valores diferentes dependendo do caminho pelo qual $ z $ se aproxima de 0. Por exemplo:
  • Se $ \theta = 0 $, então $ \cos(2\theta) = 1 $
  • Se $ \theta = \frac{\pi}{4} $, então $ \cos(2\theta) = 0 $
  • Se $ \theta = \frac{\pi}{2} $, então $ \cos(2\theta) = -1 $
Como o limite depende de $ \theta $ e não é o mesmo para todos os caminhos, o limite $ \lim_{z \to 0} f(z) $ não existe.

Passo 5

Como o limite de $ f(z) $ quando $ z \to 0 $ não existe, isso significa que $ f(z) $ não atende à condição de continuidade em $ z = 0 $. Mesmo que $ f(0) = 0 $, o limite não coincide ou nem mesmo existe de forma consistente.

Resposta

A função $ f(z) $ não é contínua em $ z = 0 $.

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