Faça um esboço da função
, respondendo os itens abaixo:
a) Encontre todas as assíntotas de
.
b) Encontre todos os pontos críticos de
, e decida se são pontos de máximo ou mínimo local.
a) Encontre todas as assíntotas de
b) Encontre todos os pontos críticos de
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é esboçar o gráfico: vamos estudar assíntotas (analisando limites para
) e pontos críticos (obtendo a derivada e analisando seu sinal).
Passo 2
Primeiro, as assíntotas. Como
e
são definidas para todo
, não há assíntotas verticais. Para horizontais, calculamos os limites:
pois o decaimento exponencial domina o polinômio; e
portanto só existe assíntota horizontal
quando
.
Passo 3
Agora, vamos à derivada para achar pontos críticos. Usando regra do produto:
Calculando, obtemos
Passo 4
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
⇒
. Como
, o sinal de
é dado por
:
- Em
, ⇒ . - Em
, ⇒ . - Em
, ⇒ .
Logo, emhá mudança de sinal de para ⇒ mínimo local, e em de para ⇒ máximo local.
Para completar, avaliamos:
Resposta
a) Não há assíntotas verticais nem oblíquas; existe assíntota horizontal
para
. b) Pontos críticos em
(mínimo local, com
) e em
(máximo local, com
).