Faça um esboço da função f(x)=e^-raiz2 x(x^2+raiz2 x), respondendo os itens abaixo:
a) Encontre todas as assíntotas de f.
b) Encontre todos os pontos críticos de f, e decida se são pontos de máximo ou mínimo local.

Passo 1

Temos a função f(x)=e^-raiz2,x(x^2+raiz2,x). O objetivo é esboçar o gráfico: vamos estudar assíntotas (analisando limites para xtopminfty) e pontos críticos (obtendo a derivada e analisando seu sinal).

Passo 2

Primeiro, as assíntotas. Como e^-raiz2x e x^2+raiz2x são definidas para todo x, não há assíntotas verticais. Para horizontais, calculamos os limites:
limxto+inftyf(x)=limxto+inftye^-raiz2x(x^2+raiz2x)=0
pois o decaimento exponencial domina o polinômio; e
limxto-inftyf(x)=limxto-inftye^-raiz2x(x^2+raiz2x)=+infty
portanto só existe assíntota horizontal y=0 quando xto+infty.

Passo 3

Agora, vamos à derivada para achar pontos críticos. Usando regra do produto:
f'(x)=ddxl[e^-raiz2xr],(x^2+raiz2x)+e^-raiz2x,ddx(x^2+raiz2x)
Calculando, obtemos
f'(x)=e^-raiz2x(2x+raiz2)-raiz2e^-raiz2x(x^2+raiz2x)=raiz2,e^-raiz2x(1-x^2)

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja 1-x^2=0 x=pm1. Como raiz2e^-raiz2x>0, o sinal de f' é dado por 1-x^2:
  • Em ( -infty,-1), 1-x^2<0 f'<0.
  • Em (-1,1), 1-x^2>0 f'>0.
  • Em (1,+infty), 1-x^2<0 f'<0.
    Logo, em x=-1 há mudança de sinal de - para + ⇒ mínimo local, e em x=1 de + para - ⇒ máximo local.
    Para completar, avaliamos:
f(-1)=e^raiz2(1-raiz2), f(1)=e^-raiz2(1+raiz2)

Resposta

a) Não há assíntotas verticais nem oblíquas; existe assíntota horizontal y=0 para xto+infty. b) Pontos críticos em x=-1 (mínimo local, com f(-1)=e^raiz2(1-raiz2)) e em x=1 (máximo local, com f(1)=e^-raiz2(1+raiz2)).

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