(páginas 118-120): Desenhe a imagem das seguintes funções:
F(t)=\left(\operatorname{sen}(t), \operatorname{sen}^{2}(t)\right)

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial (parametrização) F definida por
F(t)=\bigl(\operatorname{sen}(t),\;\operatorname{sen}^{2}(t)\bigr).
O que o problema pede é “desenhar a imagem” de F: ou seja, descrever o conjunto de pontos (x,y) no plano que aparecem quando t varia (normalmente t\in\mathbb{R}). Vou listar claramente as informações fornecidas:
  • Coordenada x é x=\operatorname{sen}(t).
  • Coordenada y é y=\operatorname{sen}^{2}(t).
  • t varia em \mathbb{R} (padrão para parametrizações, salvo indicação contrária).
    O próximo passo é relacionar x e y para encontrar a curva no plano.

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro t para achar uma equação entre x e y. Como x=\operatorname{sen}(t), então
y=\operatorname{sen}^{2}(t) = \bigl(\operatorname{sen}(t)\bigr)^2 = x^2.
Portanto toda imagem satisfaz a relação
y = x^2.
Isto significa que a imagem está contida na parábola padrão y=x^2. Agora precisamos ver se toda a parábola aparece ou apenas uma parte dela, usando os limites das funções trigonométricas.

Passo 3

Verifique as restrições de domínio/alcance impostas por \operatorname{sen}(t):
  • Como \operatorname{sen}(t) varia entre -1 e 1, temos
x=\operatorname{sen}(t)\in[-1,1].
  • Consequentemente y=x^2 varia entre 0 e 1.
    Logo a imagem não é a parábola inteira, mas apenas o segmento (ou arco) da parábola y=x^2 com x em [-1,1]. Em símbolos:
\text{Imagem}(F)=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=x^2,\; -1\le x\le 1\bigr\}.

Passo 4

Para desenhar e entender melhor, vamos olhar pontos-chave obtidos a partir de alguns valores de t:
  • t=0\Rightarrow (\operatorname{sen}0,\operatorname{sen}^2 0)=(0,0).
  • t=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow (\operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2},\operatorname{sen}^2\tfrac{\pi}{2})=(1,1).
  • t=\pi\Rightarrow (\operatorname{sen}\pi,\operatorname{sen}^2\pi)=(0,0).
  • t=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow (\operatorname{sen}\tfrac{3\pi}{2},\operatorname{sen}^2\tfrac{3\pi}{2})=(-1,1).
  • t=2\pi\Rightarrow (0,0) de novo.
    Esses pontos mostram que os extremos do arco são (-1,1) e (1,1) e que o vértice (0,0) fica entre eles. Portanto, ao traçar a parábola y=x^2 restrita a -1\le x\le 1 deve-se marcar (-1,1), (0,0) e (1,1).

Passo 5

Comentário sobre a orientação (como a curva é percorrida quando t aumenta): calcule as derivadas das coordenadas para entender a direção do movimento:
\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\operatorname{sen}(t)=\operatorname{cos}(t), \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\operatorname{sen}^{2}(t)=2\operatorname{sen}(t)\operatorname{cos}(t)=\operatorname{sen}(2t).
Com isso nota-se que, por exemplo, no intervalo t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] temos \frac{dx}{dt}=\cos t>0, então x cresce de 0 até 1 e a curva é percorrida de (0,0) até (1,1). Em [\tfrac{\pi}{2},\pi] a coordenada x volta de 1 a 0, e assim por diante. Resumo simples: à medida que t varia a curva é percorrida para a direita e para a esquerda várias vezes — a imagem geométrica, porém, permanece o mesmo arco da parábola.

Passo 6

Instruções práticas para desenhar no papel (passo a passo):
  1. Desenhe o eixo x e y.
  2. Trace a parábola y=x^2 (forma em U).
  3. Restrinja-a aos pontos com -1\le x\le 1: marque e destaque o segmento entre (-1,1) e (1,1).
  4. Marque os pontos (-1,1), (0,0) e (1,1). Ligue-os seguindo a curva y=x^2.
  5. Se quiser indicar direção, desenhe setas: por exemplo, para t de 0 a 2\pi o trajeto é (0,0)\to(1,1)\to(0,0)\to(-1,1)\to(0,0).

Resposta

A imagem é o arco da parábola y=x^{2} com x variando em [-1,1]; em notação:
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=x^{2},\\\ -1\le x\le 1\bigr\}.

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