(páginas 118-120): Desenhe a imagem das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial (parametrização)
definida por
O que o problema pede é “desenhar a imagem” de
: ou seja, descrever o conjunto de pontos
no plano que aparecem quando
varia (normalmente
). Vou listar claramente as informações fornecidas:
- Coordenada
é . - Coordenada
é . -
varia em (padrão para parametrizações, salvo indicação contrária).
O próximo passo é relacionare para encontrar a curva no plano.
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
para achar uma equação entre
e
. Como
, então
Portanto toda imagem satisfaz a relação
Isto significa que a imagem está contida na parábola padrão
. Agora precisamos ver se toda a parábola aparece ou apenas uma parte dela, usando os limites das funções trigonométricas.
Passo 3
Verifique as restrições de domínio/alcance impostas por
:
- Como
varia entre e , temos
- Consequentemente
varia entre e .
Logo a imagem não é a parábola inteira, mas apenas o segmento (ou arco) da parábolacom em . Em símbolos:
Passo 4
Para desenhar e entender melhor, vamos olhar pontos-chave obtidos a partir de alguns valores de
:
-
. -
. -
. -
. -
de novo.
Esses pontos mostram que os extremos do arco sãoe e que o vértice fica entre eles. Portanto, ao traçar a parábola restrita a deve-se marcar , e .
Passo 5
Comentário sobre a orientação (como a curva é percorrida quando
aumenta): calcule as derivadas das coordenadas para entender a direção do movimento:
Com isso nota-se que, por exemplo, no intervalo
temos
, então
cresce de
até
e a curva é percorrida de
até
. Em
a coordenada
volta de
a
, e assim por diante. Resumo simples: à medida que
varia a curva é percorrida para a direita e para a esquerda várias vezes — a imagem geométrica, porém, permanece o mesmo arco da parábola.
Passo 6
Instruções práticas para desenhar no papel (passo a passo):
- Desenhe o eixo
e . - Trace a parábola
(forma em U). - Restrinja-a aos pontos com
: marque e destaque o segmento entre e . - Marque os pontos
, e . Ligue-os seguindo a curva . - Se quiser indicar direção, desenhe setas: por exemplo, para
de a o trajeto é .
Resposta
A imagem é o arco da parábola
com
variando em
; em notação: