Um pai faz um balanço utilizando dois segmentos paralelos e iguais de corda para fixar uma tabua horizontal a uma barra também horizontal. Por segurança, opta por um tipo de corda cuja tensão de ruptura seja 25% superior à tensão máxima calculada nas seguintes condições: - O ângulo máximo atingido pelo balanço em relação à vertical é igual a 90, - Os filhos utilizarão o balanço até que tenham uma massa de 24 kg. Além disso, ele aproxima o movimento do balanço para o movimento circular, considera que a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s² e despreza forças dissipativas. Qual é a tensão de ruptura da corda escolhida?
Passo 1
Vamos resolver um problema de física envolvendo forças e movimentos circulares. A questão fala sobre como calcular a tensão de ruptura de uma corda usada para fazer um balanço. Precisamos entender conceitos de força, tensão, movimento circular e como essas forças atuam no balanço quando ele atinge o ângulo máximo de 90° em relação à vertical. Vamos utilizar fórmulas básicas de física e matemática para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação: temos um balanço com duas cordas iguais e paralelas fixadas a uma barra horizontal. Quando alguém está no balanço e ele atinge o ângulo máximo de 90°, a corda está na posição horizontal. Nesse ponto, a força que a corda exerce é a força centrípeta necessária para manter o balanço em movimento circular.
Passo 3
A força centrípeta (
) é responsável por manter o objeto em movimento circular e é calculada pela fórmula:
Onde:
-
é a massa (24 kg), -
é a velocidade, -
é o raio do movimento circular.
No entanto, como o balanço está na posição horizontal, a velocidade pode ser relacionada à altura a partir da qual o balanço foi solto, mas para simplificar, podemos considerar a força centrípeta como a força necessária para manter o balanço na trajetória circular.
Passo 4
Como o balanço está na posição horizontal (90° com a vertical), toda a força exercida pelas cordas é para fornecer a força centrípeta. Cada corda suporta metade dessa força. Portanto, a tensão em uma corda (
) será:
Substituindo
pela expressão da força centrípeta:
Passo 5
Precisamos relacionar a velocidade (
) com a altura ou com a aceleração da gravidade. Considerando que o balanço foi liberado da posição mais baixa e chegou à posição horizontal, podemos usar a conservação de energia para encontrar
. A energia potencial gravitacional na posição mais baixa se transforma em energia cinética na posição horizontal:
Onde
é a altura vertical correspondente ao movimento. Para um balanço que se move para 90°,
é igual ao comprimento da corda (
).
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na fórmula da tensão:
Como o balanço está na posição horizontal, o raio
é igual ao comprimento da corda
. Portanto:
Passo 7
Substituindo os valores dados:
Essa é a tensão máxima que cada corda deve suportar durante o uso normal. Para segurança, a tensão de ruptura deve ser 25% maior que essa tensão máxima.
Passo 8
Calculando a tensão de ruptura (
):
Resposta
A tensão de ruptura da corda escolhida é de 300 N.