Um pai faz um balanço utilizando dois segmentos paralelos e iguais de corda para fixar uma tabua horizontal a uma barra também horizontal. Por segurança, opta por um tipo de corda cuja tensão de ruptura seja 25% superior à tensão máxima calculada nas seguintes condições: - O ângulo máximo atingido pelo balanço em relação à vertical é igual a 90, - Os filhos utilizarão o balanço até que tenham uma massa de 24 kg. Além disso, ele aproxima o movimento do balanço para o movimento circular, considera que a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s² e despreza forças dissipativas. Qual é a tensão de ruptura da corda escolhida?

Passo 1

Vamos resolver um problema de física envolvendo forças e movimentos circulares. A questão fala sobre como calcular a tensão de ruptura de uma corda usada para fazer um balanço. Precisamos entender conceitos de força, tensão, movimento circular e como essas forças atuam no balanço quando ele atinge o ângulo máximo de 90° em relação à vertical. Vamos utilizar fórmulas básicas de física e matemática para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação: temos um balanço com duas cordas iguais e paralelas fixadas a uma barra horizontal. Quando alguém está no balanço e ele atinge o ângulo máximo de 90°, a corda está na posição horizontal. Nesse ponto, a força que a corda exerce é a força centrípeta necessária para manter o balanço em movimento circular.

Passo 3

A força centrípeta ( Fc) é responsável por manter o objeto em movimento circular e é calculada pela fórmula:
Fc = m v^2r
Onde:
  • m é a massa (24 kg),
  • v é a velocidade,
  • r é o raio do movimento circular.
No entanto, como o balanço está na posição horizontal, a velocidade pode ser relacionada à altura a partir da qual o balanço foi solto, mas para simplificar, podemos considerar a força centrípeta como a força necessária para manter o balanço na trajetória circular.

Passo 4

Como o balanço está na posição horizontal (90° com a vertical), toda a força exercida pelas cordas é para fornecer a força centrípeta. Cada corda suporta metade dessa força. Portanto, a tensão em uma corda ( T) será:
T = Fc2
Substituindo Fc pela expressão da força centrípeta:
T = m v^22 r

Passo 5

Precisamos relacionar a velocidade ( v) com a altura ou com a aceleração da gravidade. Considerando que o balanço foi liberado da posição mais baixa e chegou à posição horizontal, podemos usar a conservação de energia para encontrar v. A energia potencial gravitacional na posição mais baixa se transforma em energia cinética na posição horizontal:
m g h = 12 m v^2
Onde h é a altura vertical correspondente ao movimento. Para um balanço que se move para 90°, h é igual ao comprimento da corda ( L).
Resolvendo para v:
v = raiz2 g L

Passo 6

Agora, substituímos v na fórmula da tensão:
T = m (2 g L)2 r = m g Lr
Como o balanço está na posição horizontal, o raio r é igual ao comprimento da corda L. Portanto:
T = m g LL = m g

Passo 7

Substituindo os valores dados:
T = 24 , kg times 10 , m/s² = 240 , N ²
Essa é a tensão máxima que cada corda deve suportar durante o uso normal. Para segurança, a tensão de ruptura deve ser 25% maior que essa tensão máxima.

Passo 8

Calculando a tensão de ruptura ( Truptura):
Truptura = T times 1,25 = 240 , N times 1,25 = 300 , N

Resposta

A tensão de ruptura da corda escolhida é de 300 N.

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