Um pai e seu filho partem do repouso em rampas diferentes. A massa do pai é o dobro da massa do filho. Após descerem suas rampas, o filho adquire energia cinética igual ao dobro da adquirida pelo pai. Em seguida, o pai desce uma segunda rampa de altura
e passa a ter a mesma energia cinética que o filho possuía após sua descida. Determine: (a) as velocidades do pai e do filho após a primeira descida; (b) a altura h que o pai deve descer para igualar sua energia à do filho; (c) o trabalho realizado pelas forças sobre o pai na primeira descida; (d) o trabalho realizado pelas forças sobre o filho em sua descida.
Passo 1
O enunciado diz que um pai e seu filho partem do repouso em rampas diferentes. As informações e pedidos são:
-
Dados fornecidos:
- A massa do pai é o dobro da massa do filho. Vou chamar a massa do filho de
e, portanto, a massa do pai de . - Após descerem suas respectivas rampas (cada um na sua), a energia cinética do filho é o dobro da energia cinética do pai; isto é,
- Em seguida o pai desce uma segunda rampa de altura
e, após essa descida adicional, sua energia cinética passa a ser igual à energia cinética que o filho tinha após a primeira descida. - Ambos partem do repouso nas descidas iniciais.
- A massa do pai é o dobro da massa do filho. Vou chamar a massa do filho de
-
O que é pedido:
(a) as velocidades do pai e do filho após a primeira descida;
(b) a alturaque o pai deve descer para igualar sua energia à do filho (note que o enunciado deu );
(c) o trabalho realizado pelas forças sobre o pai na primeira descida;
(d) o trabalho realizado pelas forças sobre o filho em sua descida.
Passo 2
Vou definir variáveis e lembrar conceitos básicos que vou usar (bem mastigado):
-
Notação:
- massa do filho:
. - massa do pai:
. - energia cinética do pai após a primeira descida:
. - energia cinética do filho após a descida:
.
- massa do filho:
-
Fórmula da energia cinética (essa você deve decorar):onde
é a massa e a velocidade. Essa fórmula dá a energia associada ao movimento. -
Teorema do trabalho e energia (forma simples que vamos usar): o trabalho total realizado sobre um corpo altera sua energia cinética; se o corpo parte do repouso, o trabalho total realizado sobre ele até atingir velocidade
é exatamente a energia cinética final: Aqui assumimos que o corpo começa em repouso, então. -
Trabalho da força peso quando o corpo desce uma altura vertical
: a força peso realiza trabalho igual a (positivo se o deslocamento tem componente na direção da força), onde é a aceleração da gravidade. Vou adotar .
Passo 3
Usando as informações do enunciado:
-
A relação entre energias após a primeira descida é(isso foi dado).
-
Depois que o pai desce mais a altura
, a energia cinética dele aumenta pelo trabalho que a gravidade realiza nesse trecho extra, isto é . Assim, a energia cinética do pai após a segunda descida é -
O enunciado diz que após essa segunda descida (de altura
) o pai passa a ter a mesma energia cinética que o filho tinha após a primeira descida. Logo
Passo 4
Substituindo a condição anterior em termos de
e usando
:
Isolando
:
Portanto obtemos a relação importante (valendo para a primeira energia cinética do pai):
Passo 5
Agora uso o valor numérico dado de
e
para obter
em função de
:
Aqui o resultado está em joules, e ainda em função da massa
do filho (que não foi dada numericamente).
Passo 6
Agora calculo as velocidades a partir da energia cinética (parte (a)).
Para o pai, temos
. Igualando a
:
Logo
Numericamente,
(Fiz a raiz de
e arredondei para duas casas decimais.)
Passo 7
Para o filho: sabemos
.
Usando
, obtemos
Logo
Numericamente,
Observe que
, porque
e a massa do filho é metade da do pai.
Passo 8
Parte (b): encontrar a altura
que o pai deve descer para igualar sua energia à do filho.
Repetindo a dedução simbólica (sem inserir valor de
inicialmente): da igualdade
seguimos que
Mas já achamos numericamente
, então
Portanto a altura necessária é
, consistente com o valor que o enunciado já informou.
Passo 9
Parte (c): trabalho realizado pelas forças sobre o pai na primeira descida.
Pelo teorema do trabalho e energia, o trabalho total sobre o pai na primeira descida é igual à variação de energia cinética (ele partiu do repouso), isto é
Se quiser em termos da massa do pai
, usando
com
, dá
J (isto é a mesma informação reescrita).
Passo 10
Parte (d): trabalho realizado pelas forças sobre o filho em sua descida.
Também pelo teorema do trabalho e energia, o trabalho total sobre o filho é a sua energia cinética final:
(Em função da massa do filho
.)
Resposta
(a)
;
.
(b) .
(c) (ou
se usar
).
(d) .
(b)
(c)
(d)