Um pai e seu filho partem do repouso em rampas diferentes. A massa do pai é o dobro da massa do filho. Após descerem suas rampas, o filho adquire energia cinética igual ao dobro da adquirida pelo pai. Em seguida, o pai desce uma segunda rampa de altura \mathrm{h}=1,0 \mathrm{~m} e passa a ter a mesma energia cinética que o filho possuía após sua descida. Determine: (a) as velocidades do pai e do filho após a primeira descida; (b) a altura h que o pai deve descer para igualar sua energia à do filho; (c) o trabalho realizado pelas forças sobre o pai na primeira descida; (d) o trabalho realizado pelas forças sobre o filho em sua descida.

Passo 1

O enunciado diz que um pai e seu filho partem do repouso em rampas diferentes. As informações e pedidos são:
  • Dados fornecidos:
    • A massa do pai é o dobro da massa do filho. Vou chamar a massa do filho de \,m e, portanto, a massa do pai de \,2m.
    • Após descerem suas respectivas rampas (cada um na sua), a energia cinética do filho é o dobro da energia cinética do pai; isto é, K_{\text{filho}} = 2\,K_{\text{pai}}.
    • Em seguida o pai desce uma segunda rampa de altura \,h=1,0\\ \mathrm{m} e, após essa descida adicional, sua energia cinética passa a ser igual à energia cinética que o filho tinha após a primeira descida.
    • Ambos partem do repouso nas descidas iniciais.
  • O que é pedido:
    (a) as velocidades do pai e do filho após a primeira descida;
    (b) a altura \,h que o pai deve descer para igualar sua energia à do filho (note que o enunciado deu \,h=1,0\\ \mathrm{m});
    (c) o trabalho realizado pelas forças sobre o pai na primeira descida;
    (d) o trabalho realizado pelas forças sobre o filho em sua descida.

Passo 2

Vou definir variáveis e lembrar conceitos básicos que vou usar (bem mastigado):
  • Notação:
    • massa do filho: \,m.
    • massa do pai: \,2m.
    • energia cinética do pai após a primeira descida: \,K_{\text{pai}}.
    • energia cinética do filho após a descida: \,K_{\text{filho}}.
  • Fórmula da energia cinética (essa você deve decorar):
    K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
    onde \,m é a massa e \,v a velocidade. Essa fórmula dá a energia associada ao movimento.
  • Teorema do trabalho e energia (forma simples que vamos usar): o trabalho total realizado sobre um corpo altera sua energia cinética; se o corpo parte do repouso, o trabalho total realizado sobre ele até atingir velocidade v é exatamente a energia cinética final:
    W_{\text{total}}=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=K_{\text{final}}.
    Aqui assumimos que o corpo começa em repouso, então K_{\text{inicial}}=0.
  • Trabalho da força peso quando o corpo desce uma altura vertical \,H: a força peso realiza trabalho igual a m g H (positivo se o deslocamento tem componente na direção da força), onde \,g é a aceleração da gravidade. Vou adotar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Usando as informações do enunciado:
  • A relação entre energias após a primeira descida é
    K_{\text{filho}}=2\,K_{\text{pai}}.
    (isso foi dado).
  • Depois que o pai desce mais a altura \,h, a energia cinética dele aumenta pelo trabalho que a gravidade realiza nesse trecho extra, isto é (2m)\,g\,h. Assim, a energia cinética do pai após a segunda descida é
    K_{\text{pai,2}}=K_{\text{pai}}+(2m)g h.
  • O enunciado diz que após essa segunda descida (de altura h) o pai passa a ter a mesma energia cinética que o filho tinha após a primeira descida. Logo
    K_{\text{pai,2}}=K_{\text{filho}}.

Passo 4

Substituindo a condição anterior em termos de K_{\text{pai}} e usando K_{\text{filho}}=2K_{\text{pai}}:
K_{\text{pai}}+(2m)g h = 2 K_{\text{pai}}.
Isolando K_{\text{pai}}:
2m g h = 2 K_{\text{pai}} - K_{\text{pai}} = K_{\text{pai}}.
Portanto obtemos a relação importante (valendo para a primeira energia cinética do pai):
K_{\text{pai}} = (2m)\,g\,h.

Passo 5

Agora uso o valor numérico dado de \,h=1,0\\ \mathrm{m} e g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para obter K_{\text{pai}} em função de m:
K_{\text{pai}} = (2m)\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0 = 19{,}6\,m\\ \text{J}.
Aqui o resultado está em joules, e ainda em função da massa \,m do filho (que não foi dada numericamente).

Passo 6

Agora calculo as velocidades a partir da energia cinética (parte (a)).
Para o pai, temos K_{\text{pai}}=\tfrac{1}{2}(2m)v_{\text{pai}}^{2}=m v_{\text{pai}}^{2}. Igualando a K_{\text{pai}}=19{,}6\,m:
m v_{\text{pai}}^{2} = 19{,}6\,m \quad\Rightarrow\quad v_{\text{pai}}^{2}=19{,}6.
Logo
v_{\text{pai}}=\sqrt{19{,}6}=\sqrt{2\cdot 9{,}8}=\sqrt{2g}.
Numericamente,
v_{\text{pai}}\approx 4{,}43\\ \mathrm{m/s}.
(Fiz a raiz de 19{,}6 e arredondei para duas casas decimais.)

Passo 7

Para o filho: sabemos K_{\text{filho}}=2K_{\text{pai}}=2\cdot 19{,}6\,m=39{,}2\,m\\ \text{J}.
Usando K_{\text{filho}}=\tfrac{1}{2}m v_{\text{filho}}^{2}, obtemos
\tfrac{1}{2} m v_{\text{filho}}^{2}=39{,}2\,m \quad\Rightarrow\quad v_{\text{filho}}^{2}=78{,}4.
Logo
v_{\text{filho}}=\sqrt{78{,}4}=\sqrt{8\cdot 9{,}8}=\sqrt{8g}.
Numericamente,
v_{\text{filho}}\approx 8{,}86\\ \mathrm{m/s}.
Observe que v_{\text{filho}}=2\,v_{\text{pai}}, porque K_{\text{filho}}=2K_{\text{pai}} e a massa do filho é metade da do pai.

Passo 8

Parte (b): encontrar a altura h que o pai deve descer para igualar sua energia à do filho.
Repetindo a dedução simbólica (sem inserir valor de h inicialmente): da igualdade
K_{\text{pai}}+(2m)g h = K_{\text{filho}}=2K_{\text{pai}}
seguimos que
K_{\text{pai}}=(2m)g h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{K_{\text{pai}}}{(2m)g}.
Mas já achamos numericamente K_{\text{pai}}=19{,}6\,m, então
h=\frac{19{,}6\,m}{(2m)\cdot 9{,}8}=\frac{19{,}6}{19{,}6}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura necessária é \,h=1{,}0\\ \mathrm{m}, consistente com o valor que o enunciado já informou.

Passo 9

Parte (c): trabalho realizado pelas forças sobre o pai na primeira descida.
Pelo teorema do trabalho e energia, o trabalho total sobre o pai na primeira descida é igual à variação de energia cinética (ele partiu do repouso), isto é
W_{\text{pai,1}}=K_{\text{pai}}=19{,}6\,m\\ \text{J}.
Se quiser em termos da massa do pai M_{\text{pai}}=2m, usando K_{\text{pai}}=M_{\text{pai}} g h com h=1{,}0\\ \mathrm{m}, dá W_{\text{pai,1}}=M_{\text{pai}}\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0=9{,}8\,M_{\text{pai}} J (isto é a mesma informação reescrita).

Passo 10

Parte (d): trabalho realizado pelas forças sobre o filho em sua descida.
Também pelo teorema do trabalho e energia, o trabalho total sobre o filho é a sua energia cinética final:
W_{\text{filho}}=K_{\text{filho}}=39{,}2\,m\\ \text{J}.
(Em função da massa do filho m.)

Resposta

(a) v_{\text{pai}}=\sqrt{2g}\approx 4{,}43\\ \mathrm{m/s}; v_{\text{filho}}=\sqrt{8g}\approx 8{,}86\\ \mathrm{m/s}.
(b) h=1{,}0\\ \mathrm{m}.
(c) W_{\text{pai,1}}=K_{\text{pai}}=19{,}6\,m\\ \mathrm{J} (ou =M_{\text{pai}}\cdot 9{,}8\\ \mathrm{J} se usar M_{\text{pai}}=2m).
(d) W_{\text{filho}}=K_{\text{filho}}=39{,}2\,m\\ \mathrm{J}.

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