Com a palavra VESTIBULAR, calcule:
Quantos anagramas começam com consoante?

Passo 1

O enunciado pede: “Com a palavra VESTIBULAR, calcule quantos anagramas começam com consoante.”\n
Informações relevantes dadas no enunciado e que vamos usar: \n
  • A palavra é “VESTIBULAR”. \n
  • O número total de letras na palavra é \,10\,. (As letras são V,E,S,T,I,B,U,L,A,R.) \n
  • As vogais presentes são E,I,U,A, ou seja, 4 vogais. \n
  • Logo, o número de consoantes presentes é \,10-4=6\, (as consoantes são V,S,T,B,L,R). \n
    Nada mais será assumido sem explicação.

Passo 2

Conceitos que vamos usar — explicadinho passo a passo:\n
  • Princípio multiplicativo básico: se uma tarefa pode ser feita em m maneiras e, após isso, outra tarefa pode ser feita em n maneiras independentes da primeira, então as duas tarefas juntas podem ser feitas em m\cdot n maneiras. Exemplo simples: escolher uma camisa entre 3 e uma calça entre 4 3\cdot4=12 combinações. \n
  • Permutação de objetos distintos: o número de maneiras de ordenar n objetos distintos é o fatorial de n, escrito ! e definido como \,n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1\,. Exemplos: \,3!=3\cdot2\cdot1=6\,, \,4!=24\,. \n
    Vamos aplicar esses conceitos ao problema: escolher a letra inicial e ordenar o resto.

Passo 3

Modelagem do problema usando os conceitos: \n
  • Queremos contar anagramas (ordenações) da palavra onde a primeira posição é uma consoante. \n
  • Pelo princípio multiplicativo, fazemos duas escolhas encadeadas: \n
    1. escolher qual consoante ocupará a primeira posição; \n
    2. permutar as demais letras nas posições restantes. \n
  • O número de escolhas para a primeira posição é o número de consoantes disponíveis, que é \,6\,. \n
  • Depois de fixar a primeira letra, restam \,9\, letras diferentes para preencher as \,9\, posições seguintes, e o número de maneiras de fazer isso é \,9!\,. \n
    Portanto o número total de anagramas que começam com consoante é, por multiplicação,
6 \cdot 9!.

Passo 4

Calculemos numericamente com calma (sem pular etapa): \n
  • Primeiro, \,9! = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 362880\,. \n
  • Multiplicando por \,6\,: 6\cdot 9! = 6\cdot 362880. \n
  • Faça a conta passo a passo: \,362880\cdot6 = (360000+2880)\cdot6 = 2160000+17280 = 2177280\,.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (curtinho e motivador): \n
  • Escolhi a primeira letra entre as \,6\, consoantes; depois permutei as 9 letras restantes em 9! maneiras; pelo princípio multiplicativo são \,6\cdot9!\, anagramas. \n
  • Calculando dá \,2177280\,. Força aí — essa é uma contagem que dá pra fazer rapidinho na prova seguindo esse raciocínio!

Resposta

2177280

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