As palhetas de uma turbina simples a vapor são montadas em um rotor com diâmetro médio de 0,6 \mathrm{~m}. O vapor flui a uma taxa de 0,8 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a mudança de velocidade na direção tangencial é de 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A turbina gira a 600 RPM. Calcule a potência desta turbina.

Passo 1

O enunciado pede a potência extraída pela turbina. Dados fornecidos:
  • Diâmetro médio do rotor: 0,6\\ \mathrm{m}.
  • Vazão mássica de vapor: \dot{m}=0,8\\ \mathrm{kg/s}.
  • Mudança de velocidade na direção tangencial (diferença entre componente tangencial antes e depois): \Delta v_{u}=80\\ \mathrm{m/s}.
  • Rotação: 600\\ \mathrm{RPM}.

Passo 2

Comentário físico (passo didático): a potência que a turbina entrega ao eixo vem da variação do momento angular do fluido ao atravessar as palhetas. Cada quilograma de vapor que passa sofre uma mudança na componente tangencial da velocidade; isso implica uma variação de momento angular que, por unidade de tempo, gera um torque no eixo. A relação fundamental que vamos usar conecta vazão mássica, mudança de velocidade tangencial, raio do rotor e velocidade angular para obter potência. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Definição e fórmula do torque por variação de momento angular:
  • Seja r o raio médio do rotor.
  • Para uma massa m que muda sua componente tangencial de velocidade em \Delta v_{u}, a variação do momento angular é m\,r\,\Delta v_{u}.
  • Para vazão mássica \dot{m} (massa por unidade de tempo), a taxa de variação do momento angular — que é o torque T no eixo — é
T = \dot{m}\,r\,\Delta v_{u}.
Explicando cada termo: \dot{m} é quanto de massa passa por segundo, r é o braço (raio) onde atua a velocidade tangencial, e \Delta v_{u} é quanto muda a componente tangencial da velocidade do fluido. Multiplicando tudo obtemos torque em \mathrm{N\cdot m}.

Passo 4

Relação entre torque e potência:
  • Potência e torque relacionam-se pela velocidade angular \omega segundo
P = T\,\omega.
  • Substituindo T da etapa anterior:
P = \dot{m}\,r\,\Delta v_{u}\,\omega.
  • Observação útil: a velocidade tangencial das palhetas é u = r\,\omega. Substituindo, obtemos uma forma prática:
P = \dot{m}\,u\,\Delta v_{u}.
Aqui u é a velocidade linear das palhetas no raio médio, em \mathrm{m/s}. Essa forma é muito usada em turbomáquinas: potência = vazão mássica × velocidade da pá × mudança da componente tangencial do fluido.

Passo 5

Calcular valores numéricos intermediários:
  • Raio médio r é metade do diâmetro:
r = \frac{0,6}{2} = 0,3\\ \mathrm{m}.
  • Converter rotação de \mathrm{RPM} para velocidade angular \omega:
600\\ \mathrm{RPM} = 600\\ \frac{\text{rev}}{\text{min}} = 10\\ \frac{\text{rev}}{\text{s}}.
Cada revolução tem 2\pi radianos, então
\omega = 10\cdot 2\pi = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcular a velocidade tangencial média u:
u = r\,\omega = 0,3\cdot 20\pi = 6\pi\\ \mathrm{m/s}.
Numericamente, 6\pi\approx 18{,}8496\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a potência usando P=\dot{m}\,u\,\Delta v_{u}:
  • Substituindo os valores:
P = 0,8 \cdot (6\pi) \cdot 80.
  • Simplificando numericamente:
P = 0,8\cdot 480\pi = 384\pi\\ \mathrm{W}.
  • Avaliando numericamente:
384\pi \approx 384\cdot 3{,}14159265 \approx 1\,206{,}37\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final:
  • Em unidades mais usuais, 1\,206{,}37\\ \mathrm{W} é aproximadamente 1{,}21\\ \mathrm{kW}.
  • Vou apresentar a resposta com uma casa decimal prática: 1{,}21\\ \mathrm{kW}.

Resposta

P \approx 1{,}21\\ \mathrm{kW}

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