Em uma turbina de ação de simples, ocorre uma queda de entalpia isentrópica de 200 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} no bocal com eficiência de 96 \% e ângulo de bocal de 15^{\circ}. No rotor, o coeficiente de velocidade da lâmina é 0,96 e a razão de a velocidade da lâmina para a velocidade do vapor é de 0,5 . A vazão mássica do vapor é de 20 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e a velocidade do vapor na entrada do estágio é de 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
(a) os ângulos das pás se o vapor sai do rotor axialmente.
(b) a eficiência do rotor
(c) a potência desenvolvida em kW
(d) o impulso axial no rotor.
Resolva usando o diagrama de velocidade.

Passo 1

Vamos deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. Lista dos dados fornecidos (vou usar unidades SI):
\begin{aligned} &\text{Queda de entalpia isentrópica no bocal:}\quad \Delta h_s = 200\\ \mathrm{kJ/kg} = 200\,000\\ \mathrm{J/kg}\\\ &\text{Eficiência do bocal:}\quad \eta_b = 0{,}96\\\ &\text{Ângulo do bocal (em relação ao eixo axial):}\quad \alpha = 15^\circ\\\ &\text{Coeficiente de velocidade da lâmina:}\quad c_b = 0{,}96\\\ &\text{Razão da velocidade da lâmina para a velocidade do vapor (no bocal):}\quad \dfrac{u}{V_1}=0{,}5\\\ &\text{Vazão mássica:}\quad \dot m = 20\\ \mathrm{kg/s}\\\ &\text{Velocidade do vapor na entrada do estágio (antes do bocal):}\quad V_0 = 50\\ \mathrm{m/s} \end{aligned}óêÂçãâãâãáá
O que se pede:
(a) os ângulos das pás, supondo que o vapor sai do rotor axialmente; (ou seja, calcular o ângulo de entrada e o ângulo de saída das pás em relação ao eixo axial — vou chamar esses ângulos de \beta_1 e \beta_2, medidos em relação ao eixo axial, positivos quando o componente axial é o cateto adjacente do triângulo de velocidade).
(b) a eficiência do rotor (razão entre o trabalho útil por kg de vapor e a energia cinética entregue pelo bocal).
(c) a potência desenvolvida (em kW).
(d) o impulso axial no rotor (força axial resultante sobre o rotor).
Observação: como o enunciado pediu “resolver usando o diagrama de velocidade”, vou decompor velocidades em componentes axial e tangencial e usar a equação de Euler para turbomáquinas para calcular trabalho específico, e conservação do momento linear axial para o impulso axial. Não peço nada a mais — todos os dados já estão aqui.

Passo 2

Primeiro calculamos a velocidade absoluta do vapor na saída do bocal, V_1. O bocal transforma queda de entalpia em energia cinética. Com eficiência do bocal \eta_b, a variação de energia cinética por unidade de massa efetivamente adquirida é
\frac{V_1^2}{2}-\frac{V_0^2}{2}=\eta_b\,\Delta h_s.
Isolando V_1:
V_1=\sqrt{V_0^2+2\,\eta_b\,\Delta h_s}.
Substituindo os números:
V_1=\sqrt{50^2+2\cdot 0{,}96\cdot 200\,000} =\sqrt{2\,500+384\,000} =\sqrt{386\,500}.
Calculando:
V_1\approx 621{,}69\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação breve: a fórmula acima vem de conservação de energia entre a seção de entrada e a saída do bocal — a diferença de entalpia convertida em energia cinética multiplicada pela eficiência do bocal.)

Passo 3

A razão dada entre a velocidade da lâmina e a velocidade do vapor é u/V_1=0{,}5. Logo a velocidade periférica (linear) da lâmina é
u=0{,}5\,V_1=0{,}5\cdot 621{,}69\approx 310{,}85\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora decomponho a velocidade absoluta de entrada V_1 em componentes axial ( V_{1x}) e tangencial (ou “whirl”) ( V_{w1}), tomando \alpha como o ângulo do jato em relação ao eixo axial:
V_{1x}=V_1\cos\alpha,\qquad V_{w1}=V_1\sin\alpha.
Substituindo \alpha=15^\circ:
\begin{aligned} V_{1x}&=621{,}69\cos(15^\circ)\approx 600{,}0\\ \mathrm{m/s},\\\ V_{w1}&=621{,}69\sin(15^\circ)\approx 160{,}78\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
(Explicação: o componente axial é o comprimento do cateto junto ao ângulo, e o tangencial é o cateto oposto — isso é só decomposição vetorial do vetor velocidade.)

Passo 5

Para trabalhar com as pás precisamos das velocidades relativas entre fluido e pá. A velocidade relativa na entrada do rotor é
\vec W_1=\vec V_1 - \vec u,
ou, em componentes (nota: u só tem componente tangencial),
W_{1x}=V_{1x},\qquad W_{1t}=V_{w1}-u.
Substituindo:
\begin{aligned} W_{1x}&\approx 600{,}0\\ \mathrm{m/s},\\\ W_{1t}&\approx 160{,}78-310{,}85\approx -150{,}07\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
O módulo da velocidade relativa na entrada é
W_1=\sqrt{W_{1x}^2+W_{1t}^2}\approx \sqrt{600{,}0^2+(-150{,}07)^2}\approx 618{,}55\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário: W_{1t} negativo indica que, na referência da lâmina, a componente tangencial está no sentido oposto ao movimento da lâmina.)

Passo 6

O enunciado dá o “coeficiente de velocidade da lâmina” c_b=0{,}96. Interpreto isso como a razão entre a velocidade relativa na saída e a velocidade relativa na entrada do rotor:
W_2 = c_b\,W_1.
Esse coeficiente representa perdas viscosas e faz com que a magnitude da velocidade relativa na saída seja menor que na entrada. Portanto
W_2 \approx 0{,}96\cdot 618{,}55 \approx 593{,}80\\ \mathrm{m/s}.
(Explicação: em pás com atrito a energia interna aumenta e a velocidade relativa diminui; o coeficiente captura esse efeito.)

Passo 7

Como o problema impõe que o vapor saia do rotor axialmente, a componente tangencial absoluta na saída é zero:
V_{w2}=0.
Usando a relação entre velocidades absoluta e relativa na saída,
\vec V_2=\vec W_2+\vec u,
temos para a componente tangencial
W_{2t}=V_{w2}-u= -u.
Já sabemos W_2 (módulo) e W_{2t}, então a componente axial relativa na saída é
W_{2x}=\sqrt{W_2^2-W_{2t}^2}.
Substituindo números:
W_{2t}=-310{,}85\\ \mathrm{m/s},\qquad W_2\approx 593{,}80\\ \mathrm{m/s},
logo
W_{2x}\approx \sqrt{593{,}80^2-310{,}85^2}\approx 506{,}02\\ \mathrm{m/s}.
Como V_{2x}=W_{2x} (velocidade axial absoluta é a mesma que a componente axial relativa, já que u não tem componente axial), obtemos
V_{2x}\approx 506{,}02\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Agora calculamos os ângulos das pás. Vou definir:
  • \beta_1 = ângulo da pá na entrada, medido entre a velocidade relativa W_1 e o eixo axial (isto é, \tan\beta_1=\dfrac{|W_{1t}|}{W_{1x}});
  • \beta_2 = ângulo da pá na saída, medido entre a velocidade relativa W_2 e o eixo axial (isto, \tan\beta_2=\dfrac{|W_{2t}|}{W_{2x}}).
Assim,
\beta_1=\arctan\!\left(\frac{|W_{1t}|}{W_{1x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{150{,}07}{600{,}0}\right)\approx 14{,}04^\circ,
\beta_2=\arctan\!\left(\frac{|W_{2t}|}{W_{2x}}\right)=\arctan\!\left(\frac{310{,}85}{506{,}02}\right)\approx 31{,}65^\circ.
(Interpretação: \beta_1 é pequeno porque o relativo de entrada é quase axial; \beta_2 é maior porque a componente tangencial relativa na saída é igual a -u, que é grande.)

Passo 9

Agora a eficiência do rotor. Usamos a equação de Euler para turbomáquinas: o trabalho específico (por kg de fluido) entregue ao rotor é
w = u\,(V_{w1}-V_{w2}).
Aqui V_{w2}=0 (saída axial), logo
w = u\,V_{w1}.
Substituindo:
w\approx 310{,}85\cdot 160{,}78\approx 49{,}97\\ \mathrm{kJ/kg}.
A energia cinética fornecida pelo bocal (por kg) é \eta_b\,\Delta h_s:
E_{\text{bocal}}=\eta_b\,\Delta h_s=0{,}96\cdot 200{,}000=192{,}000\\ \mathrm{J/kg}=192{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Definimos a eficiência do rotor como a razão entre o trabalho específico obtido e a energia cinética fornecida pelo bocal:
\eta_{\text{rotor}}=\frac{w}{E_{\text{bocal}}}=\frac{49{,}97}{192{,}0}\approx 0{,}260\quad\text{ou}\quad 26{,}0\%.
(Explicação: o rotor só consegue extrair parte da energia cinética que o bocal entregou; o restante sai com o escoamento ou é perdido por atrito.)

Passo 10

Potência desenvolvida: multiplicamos o trabalho específico pela vazão mássica:
P=\dot m\,w=20\cdot 49{,}97\times 10^3\\ \mathrm{W}\approx 999{,}4\\ \mathrm{kW}.
(Arredondando, cerca de 999{,}4\\ \mathrm{kW}, ou aproximadamente 1{,}00\\ \mathrm{MW}.)

Passo 11

Impulso axial (força axial) no rotor: vem da mudança no momento linear axial por unidade de tempo. Para um fluxo estacionário e desprezando forças de pressão adicionais, a força axial sobre o rotor é
F_{ax}=\dot m\,(V_{1x}-V_{2x}).
Substituindo:
F_{ax}=20\,(600{,}0-506{,}02)\approx 20\cdot 93{,}98\approx 1{,}880\\ \mathrm{N}.
(Sinal: como V_{1x}>V_{2x}, o fluido perde quantidade de movimento axial e exerce uma força no rotor no sentido oposto ao escoamento; aqui dei o valor em módulo.)

Passo 12

Resumo rápido dos valores intermedi usados (para conferir):
\begin{aligned} V_1&\approx 621{,}69\\ \mathrm{m/s},\quad u\approx 310{,}85\\ \mathrm{m/s},\\\ V_{1x}&\approx 600{,}0\\ \mathrm{m/s},\quad V_{w1}\approx 160{,}78\\ \mathrm{m/s},\\\ W_1&\approx 618{,}55\\ \mathrm{m/s},\quad W_2\approx 593{,}80\\ \mathrm{m/s},\\\ V_{2x}&\approx 506{,}02\\ \mathrm{m/s},\quad w\approx 49{,}97\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}

Resposta

(a) \beta_1\approx 14{,}04^\circ,\\ \beta_2\approx 31{,}65^\circ
(b) \eta_{\text{rotor}}\approx 0{,}260 (ou 26{,}0\%)
(c) P\approx 999{,}4\\ \mathrm{kW}
(d) F_{ax}\approx 1{,}880\\ \mathrm{N}

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