Em uma turbina de ação de simples, ocorre uma queda de entalpia isentrópica de
no bocal com eficiência de
e ângulo de bocal de
. No rotor, o coeficiente de velocidade da lâmina é 0,96 e a razão de a velocidade da lâmina para a velocidade do vapor é de 0,5 . A vazão mássica do vapor é de
e a velocidade do vapor na entrada do estágio é de
. Determine:
(a) os ângulos das pás se o vapor sai do rotor axialmente.
(b) a eficiência do rotor
(c) a potência desenvolvida em kW
(d) o impulso axial no rotor.
Resolva usando o diagrama de velocidade.
(a) os ângulos das pás se o vapor sai do rotor axialmente.
(b) a eficiência do rotor
(c) a potência desenvolvida em kW
(d) o impulso axial no rotor.
Passo 1
Vamos deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede. Lista dos dados fornecidos (vou usar unidades SI):
O que se pede:
(a) os ângulos das pás, supondo que o vapor sai do rotor axialmente; (ou seja, calcular o ângulo de entrada e o ângulo de saída das pás em relação ao eixo axial — vou chamar esses ângulos de e
, medidos em relação ao eixo axial, positivos quando o componente axial é o cateto adjacente do triângulo de velocidade).
(b) a eficiência do rotor (razão entre o trabalho útil por kg de vapor e a energia cinética entregue pelo bocal).
(c) a potência desenvolvida (em kW).
(d) o impulso axial no rotor (força axial resultante sobre o rotor).
(a) os ângulos das pás, supondo que o vapor sai do rotor axialmente; (ou seja, calcular o ângulo de entrada e o ângulo de saída das pás em relação ao eixo axial — vou chamar esses ângulos de
(b) a eficiência do rotor (razão entre o trabalho útil por kg de vapor e a energia cinética entregue pelo bocal).
(c) a potência desenvolvida (em kW).
(d) o impulso axial no rotor (força axial resultante sobre o rotor).
Observação: como o enunciado pediu “resolver usando o diagrama de velocidade”, vou decompor velocidades em componentes axial e tangencial e usar a equação de Euler para turbomáquinas para calcular trabalho específico, e conservação do momento linear axial para o impulso axial. Não peço nada a mais — todos os dados já estão aqui.
Passo 2
Primeiro calculamos a velocidade absoluta do vapor na saída do bocal,
. O bocal transforma queda de entalpia em energia cinética. Com eficiência do bocal
, a variação de energia cinética por unidade de massa efetivamente adquirida é
Isolando
:
Substituindo os números:
Calculando:
(Explicação breve: a fórmula acima vem de conservação de energia entre a seção de entrada e a saída do bocal — a diferença de entalpia convertida em energia cinética multiplicada pela eficiência do bocal.)
Passo 3
A razão dada entre a velocidade da lâmina e a velocidade do vapor é
. Logo a velocidade periférica (linear) da lâmina é
Passo 4
Agora decomponho a velocidade absoluta de entrada
em componentes axial (
) e tangencial (ou “whirl”) (
), tomando
como o ângulo do jato em relação ao eixo axial:
Substituindo
:
(Explicação: o componente axial é o comprimento do cateto junto ao ângulo, e o tangencial é o cateto oposto — isso é só decomposição vetorial do vetor velocidade.)
Passo 5
Para trabalhar com as pás precisamos das velocidades relativas entre fluido e pá. A velocidade relativa na entrada do rotor é
ou, em componentes (nota:
só tem componente tangencial),
Substituindo:
O módulo da velocidade relativa na entrada é
(Comentário:
negativo indica que, na referência da lâmina, a componente tangencial está no sentido oposto ao movimento da lâmina.)
Passo 6
O enunciado dá o “coeficiente de velocidade da lâmina”
. Interpreto isso como a razão entre a velocidade relativa na saída e a velocidade relativa na entrada do rotor:
Esse coeficiente representa perdas viscosas e faz com que a magnitude da velocidade relativa na saída seja menor que na entrada. Portanto
(Explicação: em pás com atrito a energia interna aumenta e a velocidade relativa diminui; o coeficiente captura esse efeito.)
Passo 7
Como o problema impõe que o vapor saia do rotor axialmente, a componente tangencial absoluta na saída é zero:
Usando a relação entre velocidades absoluta e relativa na saída,
temos para a componente tangencial
Já sabemos
(módulo) e
, então a componente axial relativa na saída é
Substituindo números:
logo
Como
(velocidade axial absoluta é a mesma que a componente axial relativa, já que
não tem componente axial), obtemos
Passo 8
Agora calculamos os ângulos das pás. Vou definir:
-
= ângulo da pá na entrada, medido entre a velocidade relativa e o eixo axial (isto é, ); -
= ângulo da pá na saída, medido entre a velocidade relativa e o eixo axial (isto, ).
Assim,
(Interpretação:
é pequeno porque o relativo de entrada é quase axial;
é maior porque a componente tangencial relativa na saída é igual a
, que é grande.)
Passo 9
Agora a eficiência do rotor. Usamos a equação de Euler para turbomáquinas: o trabalho específico (por kg de fluido) entregue ao rotor é
Aqui
(saída axial), logo
Substituindo:
A energia cinética fornecida pelo bocal (por kg) é
:
Definimos a eficiência do rotor como a razão entre o trabalho específico obtido e a energia cinética fornecida pelo bocal:
(Explicação: o rotor só consegue extrair parte da energia cinética que o bocal entregou; o restante sai com o escoamento ou é perdido por atrito.)
Passo 10
Potência desenvolvida: multiplicamos o trabalho específico pela vazão mássica:
(Arredondando, cerca de
, ou aproximadamente
.)
Passo 11
Impulso axial (força axial) no rotor: vem da mudança no momento linear axial por unidade de tempo. Para um fluxo estacionário e desprezando forças de pressão adicionais, a força axial sobre o rotor é
Substituindo:
(Sinal: como
, o fluido perde quantidade de movimento axial e exerce uma força no rotor no sentido oposto ao escoamento; aqui dei o valor em módulo.)
Passo 12
Resumo rápido dos valores intermedi usados (para conferir):
Resposta
(a)
(b) (ou
)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)