Em uma turbina de ação, o vapor é acelerado através do bocal a partir do repouso. O ângulo do bocal é de 15^{\circ} e a vazão de vapor é de 112,95 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. A velocidade da pá é 144 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A taxa de velocidade da pá em relação ao vapor é 0,48 e o coeficiente de velocidades é 0,97 . Os ângulos das pás são iguais e a eficiência do bocal é de 92 \%.
Encontrar:
(1) Queda de calor isentrópica.
(2) Energia perdida nos bocais e nas lâminas móveis devido ao atrito.
(3) Energia perdida devido à velocidade finita do vapor saindo do estágio.
(4) Potência desenvolvida por estágio.
(5) A eficiência do diagrama

Passo 1

Dados fornecidos (vou listar TUDO que temos do enunciado):
\dot m = 112{,}95\\ \mathrm{kg/s}
u = 144\\ \mathrm{m/s}
\text{ângulo do bocal } \alpha = 15^\circâ
\text{taxa de velocidade da pá em relação ao vapor } \frac{u}{c}=0{,}48áçã
\text{coeficiente de velocidades (nas pás)} \\ \varphi = 0{,}97á
\text{eficiência do bocal } \eta_n = 0{,}92ê
Outras condições/observações do enunciado:
  • “Ângulos das pás são iguais” → pás simétricas (ângulo relativo de entrada = ângulo relativo de saída em módulo).
  • O vapor sai do bocal partindo do repouso (ou seja, aceleração no bocal gera velocidade absoluta c).
    O que se pede:
    (1) queda de calor isentrópica \Delta h_s por unidade de massa (J/kg).
    (2) energia perdida nos bocais e nas lâminas móveis devido ao atrito (potências, W).
    (3) energia perdida devido à velocidade finita do vapor saindo do estágio (potência desperdiçada pelo jato residual, W).
    (4) potência desenvolvida por estágio (W).
    (5) eficiência do diagrama (razão entre trabalho útil e queda isentrópica, em %).

Passo 2

Interpretações e suposições necessárias (esclareço e justifico para não deixar ambiguidade):
  • Interpreto “taxa de velocidade da pá em relação ao vapor = 0,48” como \dfrac{u}{c}=0{,}48. Isso é comum em problemas de turbina (razão velocidade da pá / velocidade do jato). Logo:
c=\dfrac{u}{0{,}48}.
  • Vou tratar \varphi=0{,}97 como coeficiente que reduz a magnitude da velocidade relativa de saída nas pás em relação à velocidade relativa ideal (ou seja, perdas por atrito nas lâminas). Assim, w_2=\varphi w_1 em módulo, onde w são velocidades relativas da pá ao vapor.
  • A eficiência do bocal \eta_n é usada na definição padrão
\eta_n=\dfrac{c^2/2}{\Delta h_s},
onde \Delta h_s é a queda de entalpia isentrópica por unidade de massa disponível no bocal. Reescrevo daí:
\Delta h_s=\dfrac{c^2}{2\eta_n}.
  • Sobre o ângulo do bocal: muitos textos definem o ângulo do bocal como o ângulo entre o jato e a direção tangencial (circunferencial). Para que haja extração de trabalho razoável com os números dados (e para evitar sinais estranhos), adoto a interpretação usual prática aqui: \alpha é o ângulo do jato em relação à direção tangencial. Assim as componentes do jato são
c_t = c\cos\alpha\quad(\text{tangencial}), \qquad c_a = c\sin\alpha\quad(\text{axial}).
Se outra convenção fosse usada (ângulo medido em relação ao eixo axial) o sinal do termo tangencial mudaria e o trabalho calculado ficaria incoerente com a intenção do problema. Eu explico os passos para que você possa aplicar outra convenção se quiser.

Passo 3

Calcular a velocidade absoluta do jato c a partir de \dfrac{u}{c}=0{,}48:
c=\dfrac{u}{0{,}48}=\dfrac{144}{0{,}48}=300\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Encontrar a queda de calor isentrópica \Delta h_s por unidade de massa usando a definição da eficiência do bocal:
\Delta h_s=\dfrac{c^2}{2\eta_n}.
Substituindo:
\Delta h_s=\dfrac{(300)^2}{2\times 0{,}92}=\dfrac{90\,000}{1{,}84}=48\,913{,}043478\\ \mathrm{J/kg}.
(Arredondarei nas respostas finais, mas aqui guardo precisão para verificação.)

Passo 5

Energia perdida no bocal por unidade de massa (perda no bocal devido à irreversibilidade):
  • A energia cinética do jato (por unidade de massa) é c^2/2.
  • A perda no bocal por kg é \Delta h_s - c^2/2.
\Delta h_{\text{bocal, kg}}=\Delta h_s-\dfrac{c^2}{2}=48\,913{,}043478-\dfrac{300^2}{2}=48\,913{,}043478-45\,000=3\,913{,}043478\\ \mathrm{J/kg}.
Potência perdida no bocal:
\dot{Q}_{\text{bocal}}=\dot m\cdot\Delta h_{\text{bocal, kg}}=112{,}95\times 3\,913{,}043478\approx 441\,978{,}26\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Determinar componentes do jato e da velocidade relativa de entrada às pás:
  • componentes do jato (usei a convenção: \alpha em relação à tangente)
c_t=c\cos\alpha=300\cos(15^\circ)=300\cdot 0{,}9659258263=289{,}777747887\\ \mathrm{m/s},
c_a=c\sin\alpha=300\sin(15^\circ)=300\cdot 0{,}2588190451=77{,}645713531\\ \mathrm{m/s}.
  • velocidade relativa de entrada w_1 (vetorialmente w_1=\mathbf{c}-\mathbf{u}); componentes:
w_{1t}=c_t-u=289{,}777747887-144=145{,}777747887\\ \mathrm{m/s},
w_{1a}=c_a=77{,}645713531\\ \mathrm{m/s}.
Magnitude de w_1:
w_1=\sqrt{w_{1t}^2+w_{1a}^2} =\sqrt{145{,}777747887^2+77{,}645713531^2} \approx 165{,}204\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Perda por atrito nas lâminas (usando \varphi=0{,}97 como redução da velocidade relativa de saída):
  • velocidade relativa de saída em módulo:
w_2=\varphi\,w_1=0{,}97\times 165{,}204\approx 160{,}2489\\ \mathrm{m/s}.
  • perda de energia por unidade de massa nas pás (energia cinética relativa dissipada):
\Delta h_{\text{pás, kg}}=\dfrac{1}{2}\bigl(w_1^2-w_2^2\bigr) =\dfrac{1}{2}w_1^2(1-\varphi^2).á
Calculemos numericamente:
w_1^2\approx 27\,280{,}0086\\ \Rightarrow\\ \Delta h_{\text{pás, kg}}\approx \tfrac{1}{2}\cdot 27\,280{,}0086\cdot(1-0{,}97^2) \approx 806{,}12\\ \mathrm{J/kg}.á
Potência perdida nas pás:
\dot{Q}_{\text{pás}}=\dot m\cdot\Delta h_{\text{pás, kg}} \approx 112{,}95\times 806{,}12\approx 91\,051{,}7\\ \mathrm{W}.áá

Passo 8

Calcular a velocidade absoluta do vapor de saída \mathbf{c}_2 (componentes) assumindo pás simétricas (direções relativas simétricas) e que a redução de magnitude relativa mantém a direção relativa ideal:
  • para pás simétricas, a componente relativa axial não troca de sinal e a componente tangencial relativa inverte de sinal entre entrada e saída; portanto:
w_{2t}=-\varphi\,w_{1t}=-0{,}97\times 145{,}777747887\approx -141{,}40491545\\ \mathrm{m/s},
w_{2a}=\varphi\,w_{1a}=0{,}97\times 77{,}645713531\approx 75{,}323454875\\ \mathrm{m/s}.
  • então a velocidade absoluta de saída \mathbf{c}_2=\mathbf{u}+\mathbf{w}_2 tem componentes:
c_{2t}=u+w_{2t}=144-141{,}40491545\approx 2{,}59508455\\ \mathrm{m/s},
c_{2a}=w_{2a}\approx 75{,}323454875\\ \mathrm{m/s}.
  • magnitude:
c_2=\sqrt{c_{2t}^2+c_{2a}^2}\approx \sqrt{2{,}595^2+75{,}323^2}\approx 75{,}36\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Energia perdida devido à velocidade finita do vapor saindo do estágio (por kg e potência):
  • por unidade de massa:
\Delta h_{\text{saída, kg}}=\dfrac{c_2^2}{2}\approx \dfrac{(75{,}36)^2}{2}\approx 2\,840{,}2\\ \mathrm{J/kg}.í
  • potência associada:
\dot{Q}_{\text{saída}}=\dot m\cdot \Delta h_{\text{saída, kg}} \approx 112{,}95\times 2\,840{,}2\approx 320\,782\\ \mathrm{W}.íí

Passo 10

Potência desenvolvida por estágio (trabalho útil) — cálculo a partir dos componentes tangenciais:
  • trabalho por unidade de massa (para uma passagem do jato nas pás) é u multiplicado pela diferença da componente tangencial de entrada e saída:
\Delta h_{\text{util, kg}}=u\left(c_{t}-c_{2t}\right).
Se usarmos as expressões e a simplificação com \varphi e w_{1t}=c_t-u, obtemos a forma conveniente:
c_{2t}=u-\varphi(c_t-u)\quad\Rightarrow\quad c_t-c_{2t}=(1+\varphi)(c_t-u).
Portanto:
\Delta h_{\text{util, kg}}=u(1+\varphi)(c_t-u).
Substituindo números:
\Delta h_{\text{util, kg}}=144\cdot(1+0{,}97)\cdot(289{,}777747887-144)
=144\cdot 1{,}97\cdot 145{,}777747887\approx 41\,354{,}23\\ \mathrm{J/kg}.
Potência desenvolvida:
\dot W=\dot m\cdot \Delta h_{\text{util, kg}}\approx 112{,}95\times 41\,354{,}23\approx 4\,670\,960{,}45\\ \mathrm{W}\\ (\approx 4{,}671\\ \mathrm{MW}).

Passo 11

Cálculo da eficiência do diagrama (eficiência do estágio) e verificação energética:
  • eficiência do diagrama por massa:
\eta_{\text{diagrama}}=\dfrac{\Delta h_{\text{util, kg}}}{\Delta h_s} =\dfrac{41\,354{,}23}{48\,913{,}043478}\approx 0{,}8456\\ \Rightarrow 84{,}56\%.
  • verificação energética somando termos (por potência): potência disponível de entalpia isentrópica
\dot m\Delta h_s \approx 112{,}95\times 48\,913{,}043478 \approx 5\,525\,728{,}26\\ \mathrm{W}.
Soma das partes (trabalho útil + perdas):
\dot W + \dot Q_{\text{bocal}} + \dot Q_{\text{pás}} + \dot Q_{\text{saída}} \approx 4\,670\,960{,}45+441\,978{,}26+91\,051{,}7+320\,782 \approx 5\,524\,772{,}4\\ \mathrm{W},áí
diferença pequena (~0,017% do total) devido a arredondamentos — consistência verificada.

Resposta

(1) \Delta h_s=48\,913{,}04\\ \mathrm{J/kg}
(2) \dot Q_{\text{bocal}}\approx 441\,978{,}3\\ \mathrm{W},\quad \dot Q_{\text{pás}}\approx 91\,051{,}7\\ \mathrm{W}á
(3) \dot Q_{\text{saída}}\approx 320\,782\\ \mathrm{W}í
(4) \dot W\approx 4\,670\,960{,}5\\ \mathrm{W}
(5) \eta_{\text{diagrama}}\approx 84{,}56\\ \%

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