Uma panela de ferro, com base de 50 cm 2 de área e parede de 8 mm de espessura, armazena uma sopa em alta temperatura no seu interior. A panela é colocada sobre uma mesa de pedra a 20^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o equilibrio térmico foi atingido quando a sopa estava a 50^{\circ} \mathrm{C}, determine o fluxo de calor que ocorre entre a superficie da base da panela e a pedra da mesa.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede o que está destacado:
  • Área da base da panela: A = 50\\ \text{cm}^2.
  • Espessura (parede/base): L = 8\\ \text{mm}.
  • Temperatura da sopa (interior, em equilíbrio): T_{\text{in}} = 50^\circ\text{C}.
  • Temperatura da mesa de pedra: T_{\text{out}} = 20^\circ\text{C}.
Pergunta: determinar o fluxo de calor que ocorre entre a superfície da base da panela e a pedra da mesa (isto é, a taxa de transferência de calor \dot{Q} através da base).
Observações explícitas dos dados em unidades do SI (conversões necessárias) serão feitas nos próximos passos.

Passo 2

Modelo físico e fórmula básica — vou te explicar como pensar isso na prova:
  • Quando temos uma parede ou base metálica de espessura L com temperaturas diferentes nas faces, e o regime é estacionário (equilíbrio térmico: temperaturas constantes no tempo), a transferência de calor através do metal se dá por condução.
  • A lei que usamos é a lei de Fourier para condução unidimensional em regime estacionário. A forma diferencial é
\dot{Q} = -k A \frac{dT}{dx}
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de calor (potência) que atravessa a área, em \mathrm{W};
  • k é a condutividade térmica do material, em \mathrm{W/(m\cdot K)};
  • A é a área pela qual o calor flui, em \mathrm{m^2};
  • dT/dx é o gradiente de temperatura ao longo da espessura, em \mathrm{K/m}.
  • Para um material homogêneo e espessura L com variação de temperatura praticamente linear, a fórmula fica a forma prática
\dot{Q} = k\,A\,\frac{T_{\text{in}}-T_{\text{out}}}{L}.
Vou usar essa fórmula passo a passo (cada símbolo será explicado quando usado).

Passo 3

Conversões e escolha de parâmetros:
  • Converter a área para metros quadrados:
A = 50\\ \text{cm}^2 = 50\times(10^{-2}\\ \text{m})^2 = 50\times10^{-4}\\ \text{m}^2 = 5\times10^{-3}\\ \text{m}^2.
  • Converter a espessura para metros:
L = 8\\ \text{mm} = 8\times10^{-3}\\ \text{m} = 8\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{in}}-T_{\text{out}} = 50^\circ\text{C}-20^\circ\text{C}=30\\ \text{K}.
Agora, preciso do valor de k (condutividade térmica do ferro). O enunciado não dá k, então usamos um valor típico. Valores típicos:
  • ferro puro/ferro metálico em tabela típica: k da ordem de 80\\ \mathrm{W/(m\cdot K)};
  • ferro fundido / certos aços podem ter k em torno de 50\text{–}60\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Para seguir com um número direto, vou adotar
k = 80\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
que é um valor padrão usado em exercícios para “ferro”. Se, na prova, você tiver anotado outro k para o material da panela use esse valor: o procedimento é o mesmo, só troque o número.

Passo 4

Substituindo na fórmula e fazendo as contas passo a passo:
Fórmula a usar:
\dot{Q} = k\,A\,\frac{\Delta T}{L}.
Colocando os valores (vou mostrar cada multiplicação):
k\,A = 80\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} \times 5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2} = 0{,}4\\ \mathrm{W/K}.
k\,A\,\Delta T = 0{,}4\\ \mathrm{W/K}\times 30\\ \mathrm{K} = 12\\ \mathrm{W}.
\dot{Q} = \frac{12\\ \mathrm{W}}{L} = \frac{12\\ \mathrm{W}}{8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}}.
Calcule a divisão:
\dot{Q} = 12 \div 8\times10^{-3} = \frac{12}{0{,}008} = 1500\\ \mathrm{W}.
Portanto a taxa de calor conduzida através da base (modelo idealizado) é \dot{Q}=1500\\ \mathrm{W}.
Também é útil na prova saber a densidade de fluxo de calor (fluxo por unidade de área), que é
q''=\frac{\dot{Q}}{A}=\frac{1500\\ \mathrm{W}}{5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}}=3{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 5

Comentários finais (o que pode aparecer na prova e o que você deve lembrar):
  • A resposta acima usa o modelo de condução unidimensional e assume contato perfeito entre a base e a pedra. Na prática existem duas fontes de resistência térmica adicionais que reduzem \dot{Q}: resistência de contato (devido à rugosidade, ar entre superfícies) e a condutividade relativamente menor da pedra (a pedra também oferece resistência). Se o enunciado pedir considerar resistência de contato ou incluir camadas, você teria que somar resistências térmicas (como em resistores em série).
  • Se o enunciado der outro valor de k (por exemplo 55\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}), basta repetir os passos trocando k; o cálculo é direto e rápido na prova.
  • Não se assuste com o número grande: metal fino e boa condutividade resultam em altas taxas de transferência; no mundo real outras resistências normalmente reduzem isso.

Resposta

\dot{Q}=1500\\ \mathrm{W}
q''=3{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^{2}}

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