Os trilhos de aço de uma estrada de ferro estão dispostos em segmentos de 12,0 \mathrm{~m} de comprimento ligados pelas extremidades. Os trilhos são instalados em um dia de inverno, com temperatura igual a -9,0{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual o espaço que deve ser mantido entre dois segmentos de trilho adjacentes de modo que eles se toquem em um dia de verão com uma temperatura de 33,0^{\circ} \mathrm{C} ? Resp: 6,00 \mathrm{~mm}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta claramente o que deve ser encontrado.
  • Comprimento de cada segmento de trilho: L_{0}=12{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura de instalação (inverno): T_{i}=-9{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura em que os trilhos devem tocar (verão): T_{f}=33{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: qual o espaço (folga) que deve ser deixado entre dois segmentos adjacentes de modo que, na temperatura de verão dada, eles se toquem?
Esses são todos os dados relevantes do problema.

Passo 2

Conceito físico necessário — dilatação térmica linear:
Quando um corpo longo (como um trilho) sofre variação de temperatura, seu comprimento varia aproximadamente segundo a lei da dilatação linear:
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,\Delta T
onde:
  • \Delta L é a variação de comprimento (m),
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear do material (em ^\circ\mathrm{C}^{-1}),
  • L_{0} é o comprimento inicial à temperatura de instalação (m),
  • \Delta T é a variação de temperatura, \Delta T = T_{f}-T_{i} (em ^\circ\mathrm{C}).
Explicando de modo simples: \alpha diz quanto, por unidade de comprimento, o material aumenta quando a temperatura sobe 1 grau. Multiplicamos por L_{0} e por quantos graus a temperatura mudou para obter a expansão absoluta.

Passo 3

Valor do coeficiente de dilatação do aço:
Um valor típico para o aço é
\alpha = 1{,}20\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Esse é um valor padrão usado em exercícios e dá resultado compatível com o esperado. Vou usá‑lo aqui.

Passo 4

Calcular a variação de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_{f}-T_{i} = 33{,}0 - (-9{,}0) = 42{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a variação de comprimento de um segmento usando a fórmula da dilatação:
Primeiro calcule L_{0}\Delta T:
L_{0}\Delta T = 12{,}0\\ \mathrm{m}\times 42{,}0 = 504{,}0\\ \mathrm{m\cdot ^\circ C}.
Agora aplique \alpha:
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,\Delta T = 1{,}20\times 10^{-5}\times 504{,}0 = 0{,}006048\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros (multiplicar por 1000):
\Delta L = 0{,}006048\\ \mathrm{m}\times 1000 = 6{,}048\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

Interpretação prática e arredondamento:
O valor calculado \Delta L representa quanto cada segmento de trilho cresce quando a temperatura sobe de -9{,}0^\circ\mathrm{C} para 33{,}0^\circ\mathrm{C}. No contexto prático (e no enunciado deste exercício), a folga a deixar entre dois segmentos adjacentes é tomada igual a essa expansão por segmento para que, ao aquecer, a folga seja compensada e as extremidades se toquem. Assim usamos \Delta L como o espaço necessário. Arredondando para duas casas significativas, obtemos 6{,}00\\ \mathrm{mm}.

Resposta

6{,}00\\ \mathrm{mm}

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