O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm^3 por segundo. Com que taxa está variando a área de uma de suas faces, quando sua aresta tiver 20 cm ?

Passo 1

A questão é de taxas relacionadas em geometria: temos um cubo de aresta s, cujo volume e a área de uma face variam com o tempo. O volume é dado por V = s^3 e a área de uma face por A = s^2. Sabemos que dVdt = 2,cm^3/s e queremos encontrar dAdt quando s = 20,cm.

Passo 2

Para relacionar as taxas, derivamos implicitamente as expressões de V e A em relação ao tempo t:
dVdt = 3s^2,dsdt
dAdt = 2s,dsdt

Passo 3

Isolamos dsdt a partir da taxa de variação do volume:
dsdt = dVdt3s^2

Passo 4

Substituímos dVdt = 2 e s = 20 para calcular dsdt:
dsdt = 23 cdot 20^2 = 21200 = 1600,cm/s

Passo 5

Agora, substituímos s = 20 e dsdt = tfrac1600 na expressão de dAdt:
dAdt = 2 cdot 20 cdot 1600 = 40600 = 115,cm^2/s

Resposta

dAdt = 115,cm^2/s

Exercícios relacionados