- Qual é o papel da equação auxiliar (ou característica) na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes?
Passo 1
O enunciado pede para explicarmos o papel da equação auxiliar (ou característica) na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. O conteúdo envolve ED lineares homogêneas de ordem
com coeficientes constantes e precisamos ver como transformar esse problema num polinômio cujas raízes fornecem a forma das soluções.
Passo 2
Começamos pela forma geral da ED linear homogênea de ordem
:
onde os
são constantes.
Passo 3
Para descobrir a solução, usamos o “palpite”
Cada derivada gera um fator
, de modo que, ao substituir na ED, ficamos com
Como
, o que resta é o polinômio
que chamamos de equação característica.
Passo 4
As raízes
dessa equação característica indicam as soluções fundamentais da ED:
- Se
é real simples, obtemos . - Se aparecer um par complexo
, vêm as soluções e . - Para uma raiz real de multiplicidade
, surgem os termos com .
Passo 5
A solução geral homogênea é a combinação linear dessas soluções fundamentais:
onde os
são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.
Passo 6
Logo, o papel da equação auxiliar é justamente converter a equação diferencial numa equação algébrica em
. As raízes desse polinômio definem os “modos” (ou expoentes) que, combinados, formam a solução geral da ED.
Resposta
A equação auxiliar transforma a ED linear homogênea de coeficientes constantes num polinômio em
; suas raízes determinam as soluções elementares (como
,
,
etc.) e, portanto, permitem construir de maneira sistemática a solução geral da equação diferencial.