1. Qual é o papel da equação auxiliar (ou característica) na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes?

Passo 1

O enunciado pede para explicarmos o papel da equação auxiliar (ou característica) na resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. O conteúdo envolve ED lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes e precisamos ver como transformar esse problema num polinômio cujas raízes fornecem a forma das soluções.

Passo 2

Começamos pela forma geral da ED linear homogênea de ordem n:
an d^n ydx^n + an-1d^n-1ydx^n-1 + cdots + a1 dydx + a0,y = 0,
onde os ai são constantes.

Passo 3

Para descobrir a solução, usamos o “palpite”
y = e^r x
Cada derivada gera um fator r^k e^r x, de modo que, ao substituir na ED, ficamos com
e^r xl(an r^n + an-1r^n-1 + cdots + a1 r + a0r)=0
Como e^r xneq0, o que resta é o polinômio
an r^n + an-1 r^n-1 + cdots + a1 r + a0 = 0,
que chamamos de equação característica.

Passo 4

As raízes ri dessa equação característica indicam as soluções fundamentais da ED:
  • Se ri é real simples, obtemos e^ri x.
  • Se aparecer um par complexo alphapm ibeta, vêm as soluções e^alpha xcos(beta x) e e^alpha xsin(beta x).
  • Para uma raiz real de multiplicidade k, surgem os termos x^j e^r x com j=0,1,dots,k-1.

Passo 5

A solução geral homogênea é a combinação linear dessas soluções fundamentais:
yh(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+cdots+Cnyn(x),
onde os Ci são constantes determinadas pelas condições iniciais ou de contorno.

Passo 6

Logo, o papel da equação auxiliar é justamente converter a equação diferencial numa equação algébrica em r. As raízes desse polinômio definem os “modos” (ou expoentes) que, combinados, formam a solução geral da ED.

Resposta

A equação auxiliar transforma a ED linear homogênea de coeficientes constantes num polinômio em r; suas raízes determinam as soluções elementares (como e^r x, e^alpha xcos(beta x), x^j e^r x etc.) e, portanto, permitem construir de maneira sistemática a solução geral da equação diferencial.

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