- O que caracteriza uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea? E como ela difere de uma equação não homogênea?
Passo 1
O enunciado quer que a gente identifique o que faz uma equação diferencial ordinária (EDO) ser linear de segunda ordem e homogênea, e depois explique onde ela difere de uma EDO não homogênea. O conteúdo envolve definição de linearidade em EDOs, termo de forçamento e princípio da superposição.
Passo 2
Uma EDO linear de segunda ordem é aquela que pode ser escrita na forma
onde
,
e
são funções conhecidas de
e
,
,
são a solução e suas derivadas, e
é uma função dada. A característica de linearidade vem do fato de cada termo envolvendo
aparecer de modo linear (não há
, nem
, etc.).
Passo 3
A equação é dita homogênea quando o termo de forçamento
é identicamente zero, isto é,
Isso permite aplicar o princípio da superposição: se
e
são soluções, então qualquer combinação linear
também é solução. A solução geral se escreve
Passo 4
Quando
, a equação deixa de ser homogênea e passa a ser não homogênea:
Nesse caso o princípio da superposição vale apenas para as soluções da parte homogênea associada. A solução geral então é dada por
onde
é a solução complementar (da homogênea) e
é uma solução particular que “compensa” o termo
.
Resposta
Uma EDO linear de segunda ordem é homogênea quando pode ser escrita como
isto é, sem termo de forçamento
. Já uma EDO não homogênea tem o lado direito diferente de zero:
A diferença principal é que, na homogênea, vale superposição pura de soluções, enquanto na não homogênea precisamos somar à solução geral da homogênea uma solução particular que equilibre
.