1. O que caracteriza uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea? E como ela difere de uma equação não homogênea?

Passo 1

O enunciado quer que a gente identifique o que faz uma equação diferencial ordinária (EDO) ser linear de segunda ordem e homogênea, e depois explique onde ela difere de uma EDO não homogênea. O conteúdo envolve definição de linearidade em EDOs, termo de forçamento e princípio da superposição.

Passo 2

Uma EDO linear de segunda ordem é aquela que pode ser escrita na forma
a2(x),y'' + a1(x),y' + a0(x),y = f(x),
onde a2(x), a1(x) e a0(x) são funções conhecidas de x e y, y', y'' são a solução e suas derivadas, e f(x) é uma função dada. A característica de linearidade vem do fato de cada termo envolvendo y aparecer de modo linear (não há y^2, nem y,y', etc.).

Passo 3

A equação é dita homogênea quando o termo de forçamento f(x) é identicamente zero, isto é,
a2(x),y'' + a1(x),y' + a0(x),y = 0
Isso permite aplicar o princípio da superposição: se y1(x) e y2(x) são soluções, então qualquer combinação linear C1y1+C2y2 também é solução. A solução geral se escreve
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x)

Passo 4

Quando f(x)neq 0, a equação deixa de ser homogênea e passa a ser não homogênea:
a2(x),y'' + a1(x),y' + a0(x),y = f(x), f(x)neq 0
Nesse caso o princípio da superposição vale apenas para as soluções da parte homogênea associada. A solução geral então é dada por
y(x) = yc(x) + yp(x),
onde yc é a solução complementar (da homogênea) e yp é uma solução particular que “compensa” o termo f(x).

Resposta

Uma EDO linear de segunda ordem é homogênea quando pode ser escrita como
a2(x),y'' + a1(x),y' + a0(x),y = 0,
isto é, sem termo de forçamento f(x). Já uma EDO não homogênea tem o lado direito diferente de zero:
a2(x),y'' + a1(x),y' + a0(x),y = f(x), f(x)neq 0
A diferença principal é que, na homogênea, vale superposição pura de soluções, enquanto na não homogênea precisamos somar à solução geral da homogênea uma solução particular que equilibre f(x).

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