- Um par de cargas puntiformes
e
estão separadas por uma distância
. Mostre que a superfície equipotencial
é uma esfera e determine o seu centro e raio.
- Uma esfera de raio
está uniformemente carregada, com carga total
.
(a) Determine o potencial
em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de
em função da distância ao centro.
(b) Tomando
, com uma carga puntiforme
no centro da esfera, como modelo para o átomo de hidrogênio, qual é a expressão do potencial, nesse caso?
- Uma carga puntiforme
encontra-se no prolongamento do eixo de um dipolo de momento
, a uma distância
do dipolo muito maior que as dimensões do mesmo.
(a) Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostático do dipolo.
(b) Calcule a força exercida pela carga sobre o dipolo.
© A molécula de HCl é polar, com momento de dipolo permanente de
. Com que força atua sobre um elétron alinhado com ela, a uma distância de
? A força é atrativa ou repulsiva?
(a) Determine o potencial
(b) Tomando
(a) Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostático do dipolo.
(b) Calcule a força exercida pela carga sobre o dipolo.
© A molécula de HCl é polar, com momento de dipolo permanente de
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos duas cargas puntiformes: uma de
e outra de
, separadas por uma distância
. Nosso objetivo é mostrar que a superfície onde o potencial elétrico
é igual a zero forma uma esfera. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico devido a cargas puntiformes e analisar onde a soma desses potenciais é zero.
Passo 2
Vamos considerar um ponto
no espaço onde queremos que o potencial total seja zero, ou seja,
. O potencial elétrico devido a uma carga puntiforme é dado por:
onde
é a constante eletrostática,
é a carga e
é a distância entre a carga e o ponto
.
Passo 3
Para as duas cargas, o potencial total em
será a soma dos potenciais individuais:
Queremos que
, então:
Simplificando, temos:
Passo 4
Vamos definir as posições das cargas. Suponha que a carga
está no ponto
e a carga
está no ponto
, separados por uma distância
. Vamos encontrar a posição do ponto
onde
.
Passo 5
Considerando a relação
, isso significa que o ponto
está localizado na direção da linha que une as duas cargas, mas não necessariamente fixo em uma única posição. Para que todos os pontos onde
formem uma superfície, precisamos que essa relação seja válida em todas as direções, formando uma esfera.
Passo 6
Para que a superfície
seja uma esfera, a equação
deve representar que a distância de qualquer ponto
à carga
é o dobro da distância a
. Isso caracteriza uma esfera de Apollonius, onde a relação entre as distâncias é constante.
Passo 7
Determinar o centro e o raio da esfera. Vamos calcular a posição do centro
da esfera em relação à carga
. Seja
localizado a uma distância
da carga
.
Usando a relação
, temos:
Resolvendo para
:
Como a distância
, podemos expressar
em termos de
.
Passo 8
Após os cálculos, encontramos que o centro
está deslocado da carga
em uma distância
. O raio
da esfera é dado por:
Passo 9
Vamos agora para a segunda questão. Temos uma esfera de raio
uniformemente carregada com carga total
. Precisamos determinar o potencial
em pontos internos e externos à esfera e traçar um gráfico de
em função da distância ao centro.
Passo 10
Para isso, usaremos a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição esférica de carga. Para pontos fora da esfera, o potencial é como se a carga estivesse concentrada no centro. Já para pontos dentro, o potencial varia de forma diferente.
Passo 11
(a) Determinação do potencial
:
- Para
(externo):
- Para
(interno):
Como a carga está uniformemente distribuída, o potencial interno é:
Passo 12
O gráfico de
em função da distância
ao centro será contínuo em
. Para
,
decresce como
, e para
,
começa no centro com o valor máximo e diminui parabolicamente até
.
Passo 13
(b) Agora, se tomarmos
e adicionar uma carga puntiforme
no centro da esfera, modelando o átomo de hidrogênio, precisamos encontrar a expressão do potencial.
Passo 14
O potencial total será a soma do potencial da esfera carregada e do potencial da carga puntiforme no centro:
Passo 15
Simplificando, temos:
Passo 16
Finalmente, vamos para a terceira questão que envolve um dipolo de momento
e uma carga
em seu prolongamento, a uma distância
muito maior que as dimensões do dipolo. Precisamos calcular a energia potencial, a força e a força sobre um elétron alinhado com o dipolo.
Passo 17
(a) Energia Potencial: A energia potencial
de uma carga
no campo de um dipolo é dada por:
Onde
é o campo elétrico do dipolo no ponto da carga.
Passo 18
Para um dipolo alinhado com o eixo
, o campo elétrico a uma distância
é:
Portanto, a energia potencial é:
Passo 19
(b) Força exercida pela carga sobre o dipolo: A força é a derivada da energia potencial em relação à posição
:
Passo 20
© Aplicando aos dados da molécula de HCl:
Dado que e
.
Dado que
Substituindo na expressão da força:
Calculando o valor numérico, obtemos a força.
Resposta
© A força exercida sobre um elétron alinhado com o dipolo de HCl, a uma distância de
, é de aproximadamente
e é atrativa.