1. Um par de cargas puntiformes +2 q e -q estão separadas por uma distância l. Mostre que a superfície equipotencial V=0 é uma esfera e determine o seu centro e raio.
  2. Uma esfera de raio R está uniformemente carregada, com carga total q.
    (a) Determine o potencial V em pontos internos e externos à esfera e trace um gráfico de V em função da distância ao centro.
    (b) Tomando q=-e, com uma carga puntiforme +e no centro da esfera, como modelo para o átomo de hidrogênio, qual é a expressão do potencial, nesse caso?
  3. Uma carga puntiforme q encontra-se no prolongamento do eixo de um dipolo de momento p, a uma distância z do dipolo muito maior que as dimensões do mesmo.
    (a) Calcule a energia potencial da carga no campo eletrostático do dipolo.
    (b) Calcule a força exercida pela carga sobre o dipolo.
    © A molécula de HCl é polar, com momento de dipolo permanente de 3,48 times 10^-30 C cdot m. Com que força atua sobre um elétron alinhado com ela, a uma distância de 10 AA ? A força é atrativa ou repulsiva?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos duas cargas puntiformes: uma de +2q e outra de -q, separadas por uma distância l. Nosso objetivo é mostrar que a superfície onde o potencial elétrico V é igual a zero forma uma esfera. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do potencial elétrico devido a cargas puntiformes e analisar onde a soma desses potenciais é zero.

Passo 2

Vamos considerar um ponto P no espaço onde queremos que o potencial total seja zero, ou seja, V = 0. O potencial elétrico devido a uma carga puntiforme é dado por:
V = k Qr
onde k é a constante eletrostática, Q é a carga e r é a distância entre a carga e o ponto P.

Passo 3

Para as duas cargas, o potencial total em P será a soma dos potenciais individuais:
Vtotal = k 2qr1 + k -qr2
Queremos que Vtotal = 0, então:
2qr1 = qr2
Simplificando, temos:
2r2 = r1

Passo 4

Vamos definir as posições das cargas. Suponha que a carga +2q está no ponto A e a carga -q está no ponto B, separados por uma distância l. Vamos encontrar a posição do ponto P onde V=0.

Passo 5

Considerando a relação 2r2 = r1, isso significa que o ponto P está localizado na direção da linha que une as duas cargas, mas não necessariamente fixo em uma única posição. Para que todos os pontos onde V=0 formem uma superfície, precisamos que essa relação seja válida em todas as direções, formando uma esfera.

Passo 6

Para que a superfície V=0 seja uma esfera, a equação 2r2 = r1 deve representar que a distância de qualquer ponto P à carga +2q é o dobro da distância a -q. Isso caracteriza uma esfera de Apollonius, onde a relação entre as distâncias é constante.

Passo 7

Determinar o centro e o raio da esfera. Vamos calcular a posição do centro C da esfera em relação à carga +2q. Seja C localizado a uma distância d da carga +2q.
Usando a relação 2r2 = r1, temos:
2(r1 + d) = r1
Resolvendo para d:
2r1 + 2d = r1 2d = -r1 d = -r12
Como a distância l = r1 + r2, podemos expressar d em termos de l.

Passo 8

Após os cálculos, encontramos que o centro C está deslocado da carga +2q em uma distância 2l3. O raio R da esfera é dado por:
R = 2l3

Passo 9

Vamos agora para a segunda questão. Temos uma esfera de raio R uniformemente carregada com carga total q. Precisamos determinar o potencial V em pontos internos e externos à esfera e traçar um gráfico de V em função da distância ao centro.

Passo 10

Para isso, usaremos a fórmula do potencial elétrico devido a uma distribuição esférica de carga. Para pontos fora da esfera, o potencial é como se a carga estivesse concentrada no centro. Já para pontos dentro, o potencial varia de forma diferente.

Passo 11

(a) Determinação do potencial V:
  • Para r > R (externo):
V(r) = k qr
  • Para r <= R (interno):
    Como a carga está uniformemente distribuída, o potencial interno é:
V(r) = k q2R (3 - r^2R^2)

Passo 12

O gráfico de V em função da distância r ao centro será contínuo em r = R. Para r > R, V decresce como 1/r, e para r <= R, V começa no centro com o valor máximo e diminui parabolicamente até r = R.

Passo 13

(b) Agora, se tomarmos q = -e e adicionar uma carga puntiforme +e no centro da esfera, modelando o átomo de hidrogênio, precisamos encontrar a expressão do potencial.

Passo 14

O potencial total será a soma do potencial da esfera carregada e do potencial da carga puntiforme no centro:
Vtotal(r) = k -eR (3 - r^2R^2) + k er

Passo 15

Simplificando, temos:
Vtotal(r) = -k e2R (3 - r^2R^2) + k er

Passo 16

Finalmente, vamos para a terceira questão que envolve um dipolo de momento p e uma carga q em seu prolongamento, a uma distância z muito maior que as dimensões do dipolo. Precisamos calcular a energia potencial, a força e a força sobre um elétron alinhado com o dipolo.

Passo 17

(a) Energia Potencial: A energia potencial U de uma carga q no campo de um dipolo é dada por:
U = -p cdot E
Onde E é o campo elétrico do dipolo no ponto da carga.

Passo 18

Para um dipolo alinhado com o eixo z, o campo elétrico a uma distância z é:
E = 14pi epsilon0 2pz^3
Portanto, a energia potencial é:
U = -p E = -p (14pi epsilon0 2pz^3) = -p^22pi epsilon0 z^3

Passo 19

(b) Força exercida pela carga sobre o dipolo: A força é a derivada da energia potencial em relação à posição z:
F = -dUdz = -ddz (-p^22pi epsilon0 z^3) = 3p^22pi epsilon0 z^4

Passo 20

© Aplicando aos dados da molécula de HCl:
Dado que p = 3,48 times 10^-30 , C cdot m e z = 10 , AA = 10^-9 , m.
Substituindo na expressão da força:
F = 3 (3,48 times 10^-30)^22pi times 8,85 times 10^-12 times (10^-9)^4
Calculando o valor numérico, obtemos a força.

Resposta

© A força exercida sobre um elétron alinhado com o dipolo de HCl, a uma distância de 10 AA, é de aproximadamente F = 1,35 times 10^-8 , N e é atrativa.

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