1. Um cilindro circular muito longo, de raio R, está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga de.
    (a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo E num ponto P à distância rho do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas (rho, phi, z).
    (b) Calcule |E| num ponto P interno ao cilindro (0.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: temos um cilindro infinitamente longo de raio carregado uniformemente com densidade volumétrica de carga .
(a) Precisamos usar argumentos de simetria pra descobrir pra que direção e sentido o campo elétrico aponta num ponto que está a uma distância do eixo, e mostrar de que forma ele depende das coordenadas cilíndricas .
(b) Depois, calcular o módulo para um ponto interno ao cilindro, ou seja onde .
Para resolver, vamos precisar de:
  • Noções básicas de coordenadas cilíndricas.
  • Princípio de simetria em problemas de eletrostática.
  • Lei de Gauss ( ).

Passo 2

Primeiro, simetria:
  1. O cilindro é infinito em vec E(rho,phi,z) =E(rho);hat erho,, e a distribuição de carga é a mesma em todo ângulo .
  2. Logo o campo não pode “apontar” nem variar em nem em ; só depende de .
  3. Pelo mesmo motivo, deve ficar perpendicular ao eixo (isto é, na direção radial).
  4. Se , o sentido de é para fora do cilindro; se fosse negativa, seria para dentro.
    Então a gente já sabe que
ou seja, depende só de e aponta na direção do vetor unitário radial .

Passo 3

Agora aplica a Lei de Gauss para o trecho cilíndrico de raio E(rho),2pirho L =Qrm intvarepsilon0 =de e comprimento (armazenamos carga dentro dele):
  • Fluxo: , porque só a superfície lateral contribui.
  • Carga interna: .
Segundo Gauss,

Passo 4

É só isolar E(rho) =de:

Resposta

(a) Pelo argumento de simetria temos
boxed,|vec E|=E(rho)=de,
ou seja, depende apenas de e aponta radialmente (para fora se ).
(b) Para ,

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