- Um cilindro circular muito longo, de raio
, está uniformemente carregado, com densidade volumétrica de carga
.
(a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo
num ponto
à distância
do eixo do cilindro e sua dependência das coordenadas cilíndricas
.
(b) Calcule
num ponto
interno ao cilindro
.
(a) Por argumentos de simetria (explicando-os), obtenha a direção e o sentido do campo
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado pede: temos um cilindro infinitamente longo de raio
carregado uniformemente com densidade volumétrica de carga
.
(a) Precisamos usar argumentos de simetria pra descobrir pra que direção e sentido o campo elétrico aponta num ponto
que está a uma distância
do eixo, e mostrar de que forma ele depende das coordenadas cilíndricas
.
(b) Depois, calcular o módulo para um ponto interno ao cilindro, ou seja onde
.
Para resolver, vamos precisar de:
(a) Precisamos usar argumentos de simetria pra descobrir pra que direção e sentido o campo elétrico
(b) Depois, calcular o módulo
Para resolver, vamos precisar de:
- Noções básicas de coordenadas cilíndricas.
- Princípio de simetria em problemas de eletrostática.
- Lei de Gauss (
).
Passo 2
Primeiro, simetria:
- O cilindro é infinito em
e a distribuição de carga é a mesma em todo ângulo . - Logo o campo não pode “apontar” nem variar em
nem em ; só depende de . - Pelo mesmo motivo,
deve ficar perpendicular ao eixo (isto é, na direção radial). - Se
, o sentido de é para fora do cilindro; se fosse negativa, seria para dentro.
Então a gente já sabe que
ou seja, depende só de
e aponta na direção do vetor unitário radial
.
Passo 3
Agora aplica a Lei de Gauss para o trecho cilíndrico de raio
e comprimento
(armazenamos carga dentro dele):
- Fluxo:
, porque só a superfície lateral contribui. - Carga interna:
.
Segundo Gauss,
Passo 4
É só isolar
:
Resposta
(a) Pelo argumento de simetria temos
,
ou seja, depende apenas de e aponta radialmente (para fora se
).
(b) Para ,
ou seja, depende apenas de
(b) Para