Um par termoelétrico, soldado de topo, tendo uma emissividade de 0,95 , é usado para medir a temperatura de um gás transparente escoando num grande duto, cujas paredes estão a 237^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura indicada pelo par é 604^{\circ} \mathrm{C}. Sendo o coeficiente de transmissão de calor entre a superfície do par e o gás 132 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C} estimar a temperatura verdadeira do gás.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura verdadeira do gás:
  • Emissividade da superfície do par termoelétrico: \varepsilon = 0{,}95.
  • Temperatura das paredes do duto: T_w = 237^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura indicada pelo par (temperatura da junção do par em regime): T_{tc} = 604^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de transferência convectiva entre o gás e a superfície do par: h = 132\\ \mathrm{kcal/(h\;m^{2}\;^\circ C)}.
  • O gás é transparente à radiação (portanto a radiação que chega ao par vem das paredes, sem atenuação pelo gás).
    O que se pede: estimar a temperatura verdadeira do gás T_g.

Passo 2

Modelo físico e balanço de energia (explicação didática):
  • Em regime estacionário a energia que entra na junção do termopar por convecção do gás deve equilibrar a energia que sai por radiação para as paredes (ou vice‑versa), ou seja, o somatório dos fluxos de calor é zero.
  • Convecção (Lei de Newton do resfriamento): o fluxo convectivo por unidade de área é
q_{\text{conv}} = h\,(T_g - T_{tc}),
onde h é o coeficiente convectivo, T_g é a temperatura do gás e T_{tc} a temperatura da superfície do termopar. Aqui usamos diferenças em graus Celsius ou Kelvin (são equivalentes para diferenças).
  • Radiação (Lei de Stefan–Boltzmann, para uma superfície com emissividade \varepsilon trocando radiação com um ambiente cuja temperatura efetiva é T_w e com fator de visão próximo de 1): o fluxo radiativo líquido por unidade de área recebido pela junção é
q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,(T_w^4 - T_{tc}^4),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann. Atenção importante: as temperaturas dentro dos termos T^4 devem estar em kelvin ( \mathrm{K}), porque a lei depende da temperatura absoluta.
  • Balanço de energia (soma dos fluxos = 0):
h\,(T_g - T_{tc}) + \varepsilon\,\sigma\,(T_w^4 - T_{tc}^4) = 0.
Esse é o ponto de partida para encontrar T_g.

Passo 3

Isolar T_g na equação de balanço:
h\,(T_g - T_{tc}) = -\,\varepsilon\,\sigma\,(T_w^4 - T_{tc}^4)
portanto
T_g = T_{tc} - \frac{\varepsilon\,\sigma}{h}\,\bigl(T_w^4 - T_{tc}^4\bigr).
É conveniente reescrever realçando a diferença de potências:
T_g = T_{tc} + \frac{\varepsilon\,\sigma}{h}\,\bigl(T_{tc}^4 - T_w^4\bigr).
Essa fórmula diz: como o termopar (a T_{tc}) está mais quente que as paredes, ele perde calor por radiação; para manter essa temperatura, o gás precisa estar mais quente que T_{tc} numa quantidade que depende da razão \varepsilon\sigma/h e da diferença T_{tc}^4-T_w^4.

Passo 4

Conversão de unidades e constantes (explicação e cálculo):
  • Converter h de \mathrm{kcal/(h\;m^{2}\;^\circ C)} para \mathrm{W/(m^{2}\;K)}. Sabendo que 1\\ \mathrm{kcal} = 4184\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{h} = 3600\\ \mathrm{s}, temos o fator
1\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{h}} = \frac{4184}{3600}\\ \mathrm{W} \approx 1{,}162222\\ \mathrm{W}.
Logo
h = 132\times\frac{4184}{3600}\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)} \approx 153{,}4\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \displaystyle \sigma = 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K^{4})}.
  • Emissividade já dada: \varepsilon = 0{,}95.

Passo 5

Converter as temperaturas para kelvin (porque a radiação usa temperatura absoluta):
T_{tc} = 604^\circ\mathrm{C} = 604 + 273{,}15 = 877{,}15\\ \mathrm{K},
T_w = 237^\circ\mathrm{C} = 237 + 273{,}15 = 510{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular T_{tc}^4 e T_w^4 (mostrar passos numéricos):
  • Primeiro T_{tc}^2 e T_w^2 para facilitar:
T_{tc}^2 = 877{,}15^2 = 769\,392{,}1225\\ \mathrm{K^2},
T_w^2 = 510{,}15^2 = 260\,253{,}0225\\ \mathrm{K^2}.
  • Agora elevar ao quadrado para obter as quartas potências:
T_{tc}^4 = \bigl(769\,392{,}1225\bigr)^2 \approx 5{,}919641537\times 10^{11}\\ \mathrm{K^4},
T_w^4 = \bigl(260\,253{,}0225\bigr)^2 \approx 6{,}773163000\times 10^{10}\\ \mathrm{K^4}.
  • Diferença:
T_{tc}^4 - T_w^4 \approx 5{,}242325230\times 10^{11}\\ \mathrm{K^4}.
(Observação: os valores foram arredondados em algumas casas significativas para manter clareza; as etapas mostram a ordem de grandeza e como proceder numa prova sem calculadora — usar aproximações consistentes.)

Passo 7

Calcular o fluxo radiativo líquido e a contribuição para a diferença de temperatura:
  • Fluxo radiativo líquido por unidade de área (da junção para as paredes):
q_{\text{rad}} = \varepsilon\,\sigma\,(T_{tc}^4 - T_w^4).
Substituindo valores:
q_{\text{rad}} \approx 0{,}95 \times 5{,}670374419\times10^{-8}\times 5{,}242325230\times10^{11}\\ \mathrm{W/m^2}.
Calcule passo a passo:
5{,}670374419\times10^{-8}\times 5{,}242325230\times10^{11} \approx 29\,725{,}95\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{W/m^2} = 2{,}9725\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2},
multiplicando por \varepsilon=0{,}95:
q_{\text{rad}} \approx 2{,}8239\times10^{4}\\ \mathrm{W/m^2} = 28\,239{,}7\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 8

Obter a diferença de temperatura necessária por convecção e a temperatura do gás:
  • A diferença de temperatura requerida pela convecção para suprir q_{\text{rad}} é
\Delta T_{\text{conv}} = \frac{q_{\text{rad}}}{h}.
Substituindo q_{\text{rad}}\approx 28\,239{,}7\\ \mathrm{W/m^2} e h\approx 153{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\,K)}:
\Delta T_{\text{conv}} \approx \frac{28\,239{,}7}{153{,}4} \approx 183{,}96\\ \mathrm{K}.
  • Portanto a temperatura do gás é
T_g = T_{tc} + \Delta T_{\text{conv}} \approx 877{,}15 + 183{,}96 = 1\,061{,}11\\ \mathrm{K}.
Converter para graus Celsius:
T_g \approx 1\,061{,}11 - 273{,}15 = 787{,}96^\circ\mathrm{C} \approx 788^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Interpretação curta e checagem: faz sentido físico que T_g seja maior que T_{tc} porque o termopar, estando muito quente em relação às paredes, perde calor por radiação; para manter-se em 604^\circ\mathrm{C} o gás precisa fornecer calor por convecção e, dado o grande termo-radiativo a altas temperaturas (dependência T^4), a diferença requerida é significativa — aqui resultando em aproximadamente 788^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_g \approx 788^\circ\mathrm{C}

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