Um par termoelétrico, soldado de topo, tendo uma emissividade de 0,95 , é usado para medir a temperatura de um gás transparente escoando num grande duto, cujas paredes estão a
. A temperatura indicada pelo par é
. Sendo o coeficiente de transmissão de calor entre a superfície do par e o gás 132
estimar a temperatura verdadeira do gás.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede a temperatura verdadeira do gás:
- Emissividade da superfície do par termoelétrico:
. - Temperatura das paredes do duto:
. - Temperatura indicada pelo par (temperatura da junção do par em regime):
. - Coeficiente de transferência convectiva entre o gás e a superfície do par:
. - O gás é transparente à radiação (portanto a radiação que chega ao par vem das paredes, sem atenuação pelo gás).
O que se pede: estimar a temperatura verdadeira do gás.
Passo 2
Modelo físico e balanço de energia (explicação didática):
- Em regime estacionário a energia que entra na junção do termopar por convecção do gás deve equilibrar a energia que sai por radiação para as paredes (ou vice‑versa), ou seja, o somatório dos fluxos de calor é zero.
- Convecção (Lei de Newton do resfriamento): o fluxo convectivo por unidade de área é
onde
é o coeficiente convectivo,
é a temperatura do gás e
a temperatura da superfície do termopar. Aqui usamos diferenças em graus Celsius ou Kelvin (são equivalentes para diferenças).
- Radiação (Lei de Stefan–Boltzmann, para uma superfície com emissividade
trocando radiação com um ambiente cuja temperatura efetiva é e com fator de visão próximo de 1): o fluxo radiativo líquido por unidade de área recebido pela junção é
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann. Atenção importante: as temperaturas dentro dos termos
devem estar em kelvin (
), porque a lei depende da temperatura absoluta.
- Balanço de energia (soma dos fluxos = 0):
Esse é o ponto de partida para encontrar
.
Passo 3
Isolar
na equação de balanço:
portanto
É conveniente reescrever realçando a diferença de potências:
Essa fórmula diz: como o termopar (a
) está mais quente que as paredes, ele perde calor por radiação; para manter essa temperatura, o gás precisa estar mais quente que
numa quantidade que depende da razão
e da diferença
.
Passo 4
Conversão de unidades e constantes (explicação e cálculo):
- Converter
de para . Sabendo que e , temos o fator
Logo
- Constante de Stefan–Boltzmann:
. - Emissividade já dada:
.
Passo 5
Converter as temperaturas para kelvin (porque a radiação usa temperatura absoluta):
Passo 6
Calcular
e
(mostrar passos numéricos):
- Primeiro
e para facilitar:
- Agora elevar ao quadrado para obter as quartas potências:
- Diferença:
(Observação: os valores foram arredondados em algumas casas significativas para manter clareza; as etapas mostram a ordem de grandeza e como proceder numa prova sem calculadora — usar aproximações consistentes.)
Passo 7
Calcular o fluxo radiativo líquido e a contribuição para a diferença de temperatura:
- Fluxo radiativo líquido por unidade de área (da junção para as paredes):
Substituindo valores:
Calcule passo a passo:
multiplicando por
:
Passo 8
Obter a diferença de temperatura necessária por convecção e a temperatura do gás:
- A diferença de temperatura requerida pela convecção para suprir
é
Substituindo
e
:
- Portanto a temperatura do gás é
Converter para graus Celsius:
Passo 9
Interpretação curta e checagem: faz sentido físico que
seja maior que
porque o termopar, estando muito quente em relação às paredes, perde calor por radiação; para manter-se em
o gás precisa fornecer calor por convecção e, dado o grande termo-radiativo a altas temperaturas (dependência
), a diferença requerida é significativa — aqui resultando em aproximadamente
.