Uma corrente elétrica passa através de um fio cujo diâmetro e comprimento são 2 mm e 15 cm , respectivamente. O fio está imerso em água à pressão atmosférica, e a corrente é aumentada até que a água entre em ebulição. Para esta situação \bar{h} \mathrm{c}=6000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. oc . e a temperatura da água é 97{ }^{\circ} \mathrm{c}. Qual potência elétrica deve ser fornecida para manter a superfície do fio à 114^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Diâmetro do fio: d = 0,002\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do fio: L = 0,15\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção (médio): \bar{h}_c = 6000\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água (fluido): T_\infty = 97{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da superfície do fio que se quer manter: T_s = 114{ }^\circ\mathrm{C}.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a potência elétrica P_{\text{el}} necessária para manter a superfície do fio à temperatura T_s em regime estacionário.

Passo 2

Modelo físico (balanceamento de energia) e fórmula usada.
Em regime estacionário, a potência elétrica fornecida ao fio é dissipada para a água por convecção. Assim, igualamos a potência elétrica à taxa de perda de calor por convecção:
P_{\text{el}} = \dot{Q}_{\text{conv}} = \bar{h}_c \, A \, \Delta T.
Explicando cada símbolo:
  • P_{\text{el}}: potência elétrica fornecida (o que queremos).
  • \bar{h}_c: coeficiente médio de convecção, com unidade \mathrm{W}\!/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C}.
  • A: área de superfície do fio através da qual ocorre a troca de calor (m²).
  • \Delta T = T_s - T_\infty: diferença de temperatura entre a superfície e o fluido (em °C, numericamente igual em K).
Observação prática (assunção): considera-se apenas a área lateral do fio (área dos dois extremos é desprezível comparada à lateral) e desprezam-se perdas por radiação e condução para suportes — essa é a aproximação usual para exercícios desse tipo.

Passo 3

Calcular a área de superfície lateral do fio.
A área lateral de um cilindro é
A = \pi d L.
Substituindo os valores:
A = \pi \cdot 0,002 \cdot 0,15 = \pi \cdot 0,0003 = 0,0003\pi\\ \mathrm{m}^2.
Aproximação numérica:
A \approx 9,42478\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular o termo \bar{h}_c A (que tem unidade W/°C ou W/K).
Usando \bar{h}_c = 6000\\ \mathrm{W}\!/\mathrm{m}^2\cdot^\circ\mathrm{C} e A = 0,0003\pi\\ \mathrm{m}^2:
\bar{h}_c A = 6000 \cdot 0,0003\pi = 1{,}8\pi\\ \mathrm{W}\!/\!^\circ\mathrm{C}.
Aproximação numérica:
\bar{h}_c A \approx 5{,}65487\\ \mathrm{W}\!/\!^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular a diferença de temperatura e a potência elétrica necessária.
A diferença de temperatura é
\Delta T = T_s - T_\infty = 114 - 97 = 17\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora a potência:
P_{\text{el}} = \bar{h}_c A \Delta T = (1{,}8\pi)\cdot 17 = 30{,}6\pi\\ \mathrm{W}.
Aproximação numérica:
P_{\text{el}} \approx 96{,}13\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida.
  • Resultado plausível: \sim 96\\ \mathrm{W} é compatível com um fio fino imerso em água fervente com coeficiente de convecção alto (6000 \mathrm{W/m^2\cdot^\circ C} é um valor grande, típico de ebulição/nucleação).
  • Lembrete útil para prova: ao aplicar P = h A \Delta T, sempre verifique unidades (m, m², °C, W/m²·°C) e use a área correta (lateral para cilindro).

Resposta

P_{\text{el}} \approx 96{,}1\\ \mathrm{W}

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