1. ¿Para qué valores de \alpha la matriz \left(\begin{array}{ccc}-\alpha & \alpha-1 & \alpha+1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 2-\alpha & \alpha+3 & \alpha+7\end{array}\right) no tiene inversa?

Passo 1

O enunciado pede os valores de \alpha para os quais a matriz
A(\alpha)= \begin{pmatrix} -\alpha & \alpha-1 & \alpha+1 \\[6pt] 1 & 2 & 3 \\[6pt] 2-\alpha & \alpha+3 & \alpha+7 \end{pmatrix}
não tem inversa. Para isso, vamos usar o critério de invertibilidade de matrizes quadradas: A não é invertível se, e somente se, \det(A)=0.]

Passo 2

Calculamos \det(A) por expansão na primeira linha:
\begin{aligned} \det(A) &= (-\alpha)\, \det\begin{pmatrix}2 & 3 \\[3pt] \alpha+3 & \alpha+7\end{pmatrix} \;-\; (\alpha-1)\, \det\begin{pmatrix}1 & 3 \\[3pt] 2-\alpha & \alpha+7\end{pmatrix} \;+\; (\alpha+1)\, \det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[3pt] 2-\alpha & \alpha+3\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora calculamos os menores:
\det\begin{pmatrix}2 & 3 \\\ \alpha+3 & \alpha+7\end{pmatrix} =2(\alpha+7)-3(\alpha+3) =-\alpha+5,
\det\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2-\alpha & \alpha+7\end{pmatrix} =1\cdot(\alpha+7)-3\,(2-\alpha) =4\alpha+1,
\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2-\alpha & \alpha+3\end{pmatrix} =1\cdot(\alpha+3)-2\,(2-\alpha) =3\alpha-1.
Substituindo em \det(A):
\det(A) =(-\alpha)(-\alpha+5)\;-\;(\alpha-1)(4\alpha+1)\;+\;(\alpha+1)(3\alpha-1).]

Passo 3

Desenvolvendo os termos:
(-\alpha)(-\alpha+5)=\alpha^2-5\alpha, \quad -(\alpha-1)(4\alpha+1)=-4\alpha^2+3\alpha+1, \quad (\alpha+1)(3\alpha-1)=3\alpha^2+2\alpha-1.
Somando tudo:
\alpha^2-5\alpha \;+\;(-4\alpha^2+3\alpha+1)\;+\;(3\alpha^2+2\alpha-1) =0.
Portanto \det(A)=0 identicamente para todo \alpha.

Resposta

A matriz não tem inversa para todo \alpha\in\mathbb{R}.

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