1. Suponga que la matriz A de n \times n es no invertible. Demuestre que (A)(\operatorname{adj} A) es la matriz cero.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz n\times n não invertível. Em termos de determinantes, isso significa
\det(A)=0.
Queremos mostrar que
A\,\bigl(\adj A\bigr)=0_{n\times n}.
Vamos usar a definição da matriz adjunta e a expansão de Laplace do determinante.

Passo 2

Recorde que a matriz adjunta \adj A é a transposta da matriz de cofatores de A. Mais precisamente, o elemento (i,j) de \adj A é dado por
(\adj A)_{ij}=C_{ji},
onde
C_{ji}=(-1)^{\,j+i}\,M_{ji}
é o cofator de A obtido eliminando-se a linha j e a coluna i, e M_{ji} é o determinante do menor correspondente.

Passo 3

Vamos calcular a entrada (i,j) do produto A\,(\adj A). Temos
\bigl(A\,(\adj A)\bigr)_{ij} =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,(\adj A)_{kj} =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\,C_{jk}.
Mas essa soma é exatamente a expansão de Laplace do determinante de uma matriz B que se obtém de A substituindo a linha j pela linha i. Logo,
  • Se i=j, essa expansão recupera \det(A).
  • Se i\neq j, a matriz B tem duas linhas iguais (linhas i e j), logo \det(B)=0.
Assim concluímos
\bigl(A\,(\adj A)\bigr)_{ij} =\begin{cases} \det(A),&i=j,\\\\ 0,&i\neq j, \end{cases}
isto é,
A\,(\adj A)=\det(A)\,I_n.

Passo 4

Como A é não invertível, \det(A)=0. Substituindo em
A\,(\adj A)=\det(A)\,I_n
vem imediatamente
A\,(\adj A)=0_{n\times n}.

Resposta

A\,(\adj A)=0_{n\times n}.

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