- Suponga que la matriz
de
es no invertible. Demuestre que
es la matriz cero.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz
não invertível. Em termos de determinantes, isso significa
Queremos mostrar que
Vamos usar a definição da matriz adjunta e a expansão de Laplace do determinante.
Passo 2
Recorde que a matriz adjunta
é a transposta da matriz de cofatores de
. Mais precisamente, o elemento
de
é dado por
onde
é o cofator de
obtido eliminando-se a linha
e a coluna
, e
é o determinante do menor correspondente.
Passo 3
Vamos calcular a entrada
do produto
. Temos
Mas essa soma é exatamente a expansão de Laplace do determinante de uma matriz
que se obtém de
substituindo a linha
pela linha
. Logo,
- Se
, essa expansão recupera . - Se
, a matriz tem duas linhas iguais (linhas e ), logo .
Assim concluímos
isto é,
Passo 4
Como
é não invertível,
. Substituindo em
vem imediatamente