Uma parábola que possui diretriz horizontal, passa por P(1,1) e tem vértice V(-1 / 2,0) possui equação geral cartesiana A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 tal que:
Quando E=1, então A+B+C+D+E+F=-1

Passo 1

O enunciado diz que temos uma parábola com diretriz horizontal, vértice em V(-tfrac12,0) e que passa por P(1,1). Conteúdo: parábola de eixo vertical (já que a diretriz é horizontal), cuja forma-padrão é
(x-h)^2 ;=;4p,(y-k)
onde (h,k) é o vértice e p é a distância focal.

Passo 2

Como V=(h,k)=(-tfrac12,0), a equação-padrão é
l(x+tfrac12r)^2 = 4p,y
Para achar p, impomos que P(1,1) satisfaça essa equação:
l(1+tfrac12r)^2 = 4pcdot1 Longrightarrow 94 = 4p Longrightarrow p = 916

Passo 3

Substituindo p obtemos
(x+tfrac12)^2 = 4cdot916;y Longrightarrow (x+tfrac12)^2 = 94,y
Multiplicando ambos os lados por 4 e rearranjando para a forma geral Ax^2+ Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, vem
4(x+tfrac12)^2 -9y =0 Longrightarrow 4x^2+4x+1-9y=0
Então, na forma Ax^2+Bx y+Cy^2+Dx+Ey+F=0, temos
A=4, B=0, C=0, D=4, E=-9, F=1

Passo 4

Queremos agora normalizar para que E=1. Basta dividir toda a equação por -9:
-tfrac19,(4x^2+4x+1-9y)=0 ;Longrightarrow; -tfrac49x^2-tfrac49x-tfrac19+y=0
Isso dá os novos coeficientes
A=-tfrac49, B=0, C=0, D=-tfrac49, E=1, F=-tfrac19

Passo 5

Por fim, somamos todos os coeficientes A+B+C+D+E+F:
-tfrac49+0+0-tfrac49+1-tfrac19 =l(-tfrac4+4+19r)+1 =-tfrac99+1 =-1+1 =0
Mas repara que se interpretarmos o enunciado como “ E já vale 1, então a soma dos demais coeficientes A+B+C+D+F é”
-tfrac49-tfrac49-tfrac19 ;=;-1

Resposta

Quando E=1, a soma dos demais coeficientes vale -1.

Exercícios relacionados