Em vez de usar das definições usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operações definidas abaixo:
Adição:
/ Multiplicação por um escalar:
, com
.
Adição:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
, com as operações
Adição:
Adição:
e multiplicação por escalar
é um espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos lembrar os axiomas de espaço vetorial: primeiro formam um grupo abeliano pela adição; depois vêm as propriedades que envolvem o produto por escalar (identidade, associatividade de escalares, e as duas distributividades).
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: a soma de dois vetores em
está em . - Associatividade e comutatividade: decorrem da adição usual em cada componente.
- Elemento neutro:
satisfaz
- Inverso aditivo: para cada
existe tal que
Passo 3
Agora cheque as propriedades envolvendo o produto por escalar (além das distributividades):
– Identidade de escalar:
– Identidade de escalar:
– Associatividade de escalares: para
,
– Distributividade em vetores: para
e
,
logo essa distributividade também vale.
Passo 4
Falta verificar a distributividade em escalares:
enquanto
Para vetores com
ou
essas duas expressões diferem, logo
em geral.
Resposta
O conjunto com essas operações não é um espaço vetorial, pois falha a propriedade