Em vez de usar das definições usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^2 a partir das operações definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c x1, y1, z1), com c in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto R^3, com as operações
Adição:
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e multiplicação por escalar
c,(x1,y1,z1)=(c,x1,;y1,;z1),
é um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos lembrar os axiomas de espaço vetorial: primeiro formam um grupo abeliano pela adição; depois vêm as propriedades que envolvem o produto por escalar (identidade, associatividade de escalares, e as duas distributividades).

Passo 2

Verificamos que (R^3,+) é um grupo abeliano:
  1. Fechamento: a soma de dois vetores em R^3 está em R^3.
  2. Associatividade e comutatividade: decorrem da adição usual em cada componente.
  3. Elemento neutro: (0,0,0) satisfaz
(x1,y1,z1)+(0,0,0)=(x1,y1,z1)
  1. Inverso aditivo: para cada (x1,y1,z1) existe (-x1,-y1,-z1) tal que
(x1,y1,z1)+(-x1,-y1,-z1)=(0,0,0)

Passo 3

Agora cheque as propriedades envolvendo o produto por escalar (além das distributividades):
– Identidade de escalar:
1cdot(x1,y1,z1)=(1cdot x1,y1,z1)=(x1,y1,z1)
– Associatividade de escalares: para c,dinR,
(cd)cdot(x1,y1,z1)=((cd)x1,y1,z1) e cl(dcdot(x1,y1,z1)r)=c,(d x1,y1,z1)=((cd)x1,y1,z1)
– Distributividade em vetores: para (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2),
cl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) =(c(x1+x2),y1+y2,z1+z2)
e c,(x1,y1,z1)+c,(x2,y2,z2) =(c x1,y1,z1)+(c x2,y2,z2) =(c(x1+x2),y1+y2,z1+z2),
logo essa distributividade também vale.

Passo 4

Falta verificar a distributividade em escalares:
(c+d)cdot(x1,y1,z1)=l((c+d)x1,;y1,;z1r),
enquanto
c,(x1,y1,z1)+d,(x1,y1,z1) =(c x1,y1,z1)+(d x1,y1,z1) =(c x1+d x1,;y1+y1,;z1+z1) =((c+d)x1,;2y1,;2z1)
Para vetores com y1neq0 ou z1neq0 essas duas expressões diferem, logo
(c+d)cdot vneq ccdot v + dcdot v
em geral.

Resposta

O conjunto com essas operações não é um espaço vetorial, pois falha a propriedade
(c+d),v = c,v + d,v

Exercícios relacionados