Uma parábola que possui diretriz horizontal, passa por P(1,1) e tem vértice V(-1 / 2,0) possui equação geral cartesiana A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 tal que:
Quando E=1, então A+B+C+D+E+F=-2

Passo 1

O enunciado dá uma parábola cuja diretriz é horizontal, o vértice é V(-tfrac12,0) e ela passa por P(1,1). Queremos escrever sua equação geral
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
de modo que o coeficiente de y seja E=1 e então encontrar
A+B+C+D+E+F

Passo 2

Como a diretriz é horizontal, o eixo da parábola é vertical. Para uma parábola com vértice (h,k) e eixo vertical usamos a forma canônica
(x-h)^2=4p,(y-k),
onde o foco está em (h,k+p) e a diretriz em y=k-p. Aqui (h,k)=(-tfrac12,0).

Passo 3

Substituindo (h,k) na forma canônica obtemos
l(x+tfrac12r)^2=4p,y

Passo 4

Como P(1,1) pertence à parábola, temos
(1+tfrac12)^2=4pcdot1 Longrightarrow tfrac94=4p Longrightarrow p=tfrac916
Logo a equação fica
(x+tfrac12)^2=tfrac94,y

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 4 temos
4(x+tfrac12)^2=9y Longrightarrow 4x^2+4x+1-9y=0

Passo 6

Na forma geral 4x^2+4x-9y+1=0 o coeficiente de y é -9. Para fazer E=1 dividimos toda a equação por -9:
-tfrac49x^2-tfrac49x+y-tfrac19=0

Passo 7

Assim os coeficientes são
A=-tfrac49, B=0, C=0, D=-tfrac49, E=1, F=-tfrac19
Somando:
A+B+C+D+E+F =-tfrac49+0+0-tfrac49+1-tfrac19 =0

Resposta

O valor de A+B+C+D+E+F (com E=1) é 0.

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