Questão 4: Sejam e vetores de tais que e . O conjunto é L.I.?
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em , com e .
Queremos saber se o conjunto é linearmente independente (L.I.).
O critério de L.I. é: se
implica , então o conjunto é L.I.
Passo 2
Começamos impondo a combinação linear nula:
Fazendo o produto interno dessa igualdade com , usando e , obtemos
Como |v2|^2>0 sempre que v2neq0, segue beta=0.
Passo 3
Com beta=0, a combinação inicial reduz-se a
alpha v1 + gamma v3 = 0
Isso é exatamente a verificação da L.I. do par v1,v3. Se v1 e v3 não forem colineares, então alpha=gamma=0 e a trifeta toda é L.I. Caso contrário (quando v3=lambda v1 para algum lambda), existem alpha,gamma não todos nulos satisfazendo a relação.
Passo 4
Concluímos que v1,v2,v3 será L.I. se, e somente se,
v2neq0, e
v1 e v3 não forem múltiplos um do outro.
As hipóteses do enunciado não garantem nada sobre a relação entre v1 e v3, logo não podemos afirmar em geral que o conjunto seja L.I.
Passo 5
Um exemplo simples de dependência é em R^2:
v1=(1,0), v2=(0,1), v3=(1,0)
Aqui lang<= v1,v2rang<==0 e lang<= v2,v3rang<==0, mas v3=v1, logo v1,v2,v3 é linearmente dependente.
Resposta
O conjunto v1,v2,v3 não é garantidamente L.I.; ele será L.I. se, e somente se, v2neq0 e v1 não for colinear com v3.