Questão 4: Sejam v1, v2 e v3 vetores de R^n tais que lang<= v1, v2rang<==0 e v2 perp v3. O conjunto v1, v2, v3 é L.I.?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^n, com
lang<= v1,v2rang<==0 e lang<= v2,v3rang<==0.
Queremos saber se o conjunto v1,v2,v3 é linearmente independente (L.I.).
O critério de L.I. é: se
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0
implica alpha=beta=gamma=0, então o conjunto é L.I.

Passo 2

Começamos impondo a combinação linear nula:
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 0
Fazendo o produto interno dessa igualdade com v2, usando lang<= v1,v2rang<==0 e lang<= v3,v2rang<==0, obtemos
llang<= alpha v1 + beta v2 + gamma v3,,v2rrang<= = alphaunderbracelang<= v1,v2rang<=0 + betaunderbracelang<= v2,v2rang<=|v2|^2 + gammaunderbracelang<= v3,v2rang<=0 = beta,|v2|^2 =0
Como |v2|^2>0 sempre que v2neq0, segue beta=0.

Passo 3

Com beta=0, a combinação inicial reduz-se a
alpha v1 + gamma v3 = 0
Isso é exatamente a verificação da L.I. do par v1,v3. Se v1 e v3 não forem colineares, então alpha=gamma=0 e a trifeta toda é L.I. Caso contrário (quando v3=lambda v1 para algum lambda), existem alpha,gamma não todos nulos satisfazendo a relação.

Passo 4

Concluímos que
v1,v2,v3 será L.I. se, e somente se,
  1. v2neq0, e
  2. v1 e v3 não forem múltiplos um do outro.
    As hipóteses do enunciado não garantem nada sobre a relação entre v1 e v3, logo não podemos afirmar em geral que o conjunto seja L.I.

Passo 5

Um exemplo simples de dependência é em R^2:
v1=(1,0), v2=(0,1), v3=(1,0)
Aqui lang<= v1,v2rang<==0 e lang<= v2,v3rang<==0, mas v3=v1, logo v1,v2,v3 é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto v1,v2,v3 não é garantidamente L.I.; ele será L.I. se, e somente se, v2neq0 e v1 não for colinear com v3.

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