Uma parábola que possui diretriz horizontal, passa por P(1,1) e tem vértice V(-1 / 2,0) possui equação geral cartesiana A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 tal que:
Quando E=1, então A+B+C+D+E+F=-4

Passo 1

O enunciado pede a equação geral
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
de uma parábola com diretriz horizontal, vértice Vl(-tfrac12,0r) e que passa por P(1,1).
Para uma parábola com diretriz horizontal (eixo vertical) usamos a forma padrão
(x-h)^2=4p,(y-k),
onde (h,k) é o vértice e p a distância focal. Depois converteremos para a forma geral e, impondo E=1, calcularemos
A+B+C+D+E+F

Passo 2

Começamos escrevendo a forma canônica com h=-tfrac12 e k=0:
l(x+tfrac12r)^2=4p,y

Passo 3

O ponto P(1,1) satisfaz a curva, logo
l(1+tfrac12r)^2=4pcdot1 Longrightarrow l(tfrac32r)^2=4p Longrightarrow p=tfrac916

Passo 4

Substituindo p na forma canônica:
l(x+tfrac12r)^2 =4cdottfrac916,y =tfrac94,y Longrightarrow 4l(x+tfrac12r)^2=9y
Expandindo,
4l(x^2+x+tfrac14r)=9y Longrightarrow 4x^2+4x+1-9y=0

Passo 5

Na forma geral temos então
4x^2+0cdot xy+0cdot y^2+4x+(-9)y+1=0
Para impor E=1 (coeficiente de y), dividimos toda a equação por -9:
-tfrac49x^2-tfrac49x+y-tfrac19=0
Assim
A=-tfrac49, B=0, C=0, D=-tfrac49, E=1, F=-tfrac19

Passo 6

Somando os coeficientes
A+B+C+D+E+F =-tfrac49+0+0-tfrac49+1-tfrac19 =-tfrac99+1 =0

Resposta

0

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