Uma parábola que possui diretriz horizontal, passa por P(1,1) e tem vértice V(-1 / 2,0) possui equação geral cartesiana A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0 tal que:
Quando E=1, então A+B+C+D+E+F=1

Passo 1

O enunciado diz que temos uma parábola cuja diretriz é uma reta horizontal, que passa por P(1,1) e tem vértice em Vl(-tfrac12,0r). Para parábolas com diretriz horizontal o eixo de simetria é vertical, de modo que a equação pode ser escrita em forma canônica
(x - h)^2 ;=;4p,(y - k)
onde (h,k) é o vértice e p a distância vértice-foco. Vamos usar isso e, em seguida, passar para a forma geral
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F =0

Passo 2

Na forma canônica tomamos (h,k)=l(-tfrac12,0r). Logo
(x + tfrac12)^2 = 4pl(y - 0r);=;4p,y

Passo 3

Como a parábola passa por P(1,1), substituímos x=1, y=1:
l(1 + tfrac12r)^2 = 4pcdot1 Longrightarrow l(tfrac32r)^2 = 4p Longrightarrow 94=4p Longrightarrow p=916

Passo 4

Substituindo p=tfrac916 na forma canônica obtemos
(x + tfrac12)^2 = 94,y
Expandindo:
x^2 + x + tfrac14 ;=;94y Longrightarrow x^2 + x + tfrac14 - 94y =0
Multiplicando tudo por 4 para eliminar denominadores:
4x^2 + 4x +1 -9y =0
Daí, na forma geral:
A=4, B=0, C=0, D=4, E=-9, F=1

Passo 5

O enunciado pede que, quando normalizamos de modo que E=1, calculemos
A+B+C+D+E+F
Para ter E=1 basta multiplicar toda a equação por -tfrac19. Assim:
-,tfrac49x^2 - tfrac49x + 1cdot y - tfrac19 =0,
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A=-tfrac49,;B=0,;C=0,;D=-tfrac49,;E=1,;F=-tfrac19

Passo 6

Somando esses coeficientes:
A+B+C+D+E+F =;-tfrac49+0+0-tfrac49+1-tfrac19 =;1-l(tfrac49+tfrac49+tfrac19r) =;1-tfrac99 =;0

Resposta

0

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