Um paralelepípedo de alumínio ( \mathrm{SG}_{\mathrm{s}}=2,7 ) com dimensões 2 \times 2 \times 4 \mathrm{~mm} cai, sob a ação do campo gravitacional terrestre, em óleo diesel ( \mathrm{SG}_{\mathrm{L}}=0,82, \mu=4,8 \mathrm{cP} ). Pede-se calcular o diâmetro da esfera de mesmo material e que sob as mesmas condições atinge a mesma velocidade terminal que a referida partícula (em cm). É correto afirmar que o diâmetro dessa esfera é o diâmetro de Stokes \left(\mathrm{d}_{\text {Stk }}\right) do paralelepípedo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo de alumínio com gravidade específica \mathrm{SG}_{\mathrm{s}}=2,7 e dimensões 2\times2\times4,mm caindo em óleo diesel com \mathrm{SG}_{\mathrm{L}}=0,82 e viscosidade \mu=4,8,cP. Queremos achar o diâmetro d de uma esfera de mesmo material que, nas mesmas condições, atinja a mesma velocidade terminal. O conteúdo envolve sedimentação em regime de Stokes (Re \ll1\) e a definição de diâmetro de Stokes: é o diâmetro de esfera que cai com a mesma velocidade que a partícula analisada.

Passo 2

Passamos tudo para unidades SI e calculamos as densidades do sólido e do fluido e sua diferença:
\rho_{\mathrm{s}}=\mathrm{SG}_{\mathrm{s}}\times1000=2{,}7\times10^3,kg/ m^{3} \rho_{\mathrm{f}}=\mathrm{SG}_{\mathrm{L}}\times1000=0{,}82\times10^3,kg/ m^{3} \Delta\rho=\rho_{\mathrm{s}}-\rho_{\mathrm{f}}=(2{,}7-0{,}82)\times10^3=1{,}88\times10^3,kg/ m^{3}
A viscosidade em P a\cdot s é
\mu=4{,}8,cP =4{,}8\times10^{-3},P a\cdot s.

Passo 3

Calculamos o volume do paralelepípedo:
V = 2\;\mathrm{mm}\times2\;\mathrm{mm}\times4\;\mathrm{mm} = 16\;\mathrm{mm}^3 = 16\times10^{-9}\;\mathrm{m}^3.

Passo 4

Em regime de Stokes, a velocidade terminal de uma esfera de diâmetro d é
v = \frac{\Delta\rho\,g\,d^2}{18\,\mu}.
Definimos o diâmetro de Stokes d_{\mathrm{Stk}} de qualquer partícula como o diâmetro da esfera que caia à mesma velocidade dessa partícula. Se a esfera de diâmetro d tiver a mesma velocidade terminal que o paralelepípedo, então d=d_{\mathrm{Stk}}.

Passo 5

Para achar numericamente d_{\mathrm{Stk}}, basta perceber que não precisamos do valor de v: a definição já nos diz que
d_{\mathrm{Stk}} = d.
Mas podemos estimar um “diâmetro equivalente por volume” e verificar que de fato corresponde ao mesmo d que faz cair a mesma velocidade. O diâmetro de esfera de mesmo volume é
d_{\mathrm{eq}} =\Bigl(\frac{6\,V}{\pi}\Bigr)^{1/3} =\Bigl(\frac{6\times16\times10^{-9}}{\pi}\Bigr)^{1/3} \approx3{,}11\times10^{-3}\;\mathrm{m} =0{,}311\;\mathrm{cm}.

Resposta

O diâmetro da esfera é aproximadamente 0,31,cm.
Sim, esse valor é justamente o diâmetro de Stokes do paralelepípedo, pois por definição o diâmetro de Stokes de uma partícula é o diâmetro da esfera que, no mesmo fluido e sob as mesmas condições, cai com a mesma velocidade terminal.

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