Em uma indústria de produtos congelados, gema de ovo líquida, a 2{ }^{\circ} \mathrm{C}, é transportada com uma vazão mássica de 10000 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~h}^{-1} em uma tubulação de 76,2 \mathrm{~mm} de diâmetro interno e 9 m de comprimento. A gema de ovo líquida, nessa temperatura, apresenta densidade de 1131,89 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} e comportamento reológico pseudoplástico, sem tensão de cisalhamento inicial, com índice de consistência igual a 2,01 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~s}^{\mathrm{n}} e índice de fluxo igual a 0,842 (Gut et al., 2005).
Determine:
(i) a queda de pressão;
(ii) a velocidade máxima; e
(iii) construa o gráfico do perfil de velocidades no escoamento laminar da gema de ovo considerando o perfil plenamente desenvolvido.

Passo 1

O enunciado trata do escoamento laminar, plenamente desenvolvido, de um fluido pseudoplástico (modelo de potência) numa tubulação circular de diâmetro interno D=76{,}2\\ \mathrm{mm} e comprimento L=9\\ \mathrm{m}. A gema líquida tem densidade \rho=1131{,}89\\ \mathrm{kg/m^3}, vazão mássica \dot m=10000\\ \mathrm{kg/h}, índice de consistência K=2{,}01\\ \mathrm{Pa\cdot s^n} e índice de fluxo n=0{,}842. Vamos precisar:
  1. Converter \dot m em vazão volumétrica Q.
  2. Usar a relação de escoamento laminar para fluido de potência a fim de calcular a queda de pressão \Delta P.
  3. Obter a velocidade máxima u_{\max} no centro do tubo.
  4. Escrever o perfil de velocidade u(r) e construir o gráfico u/u_{\max}\times r/R.

Passo 2

Convertendo a vazão mássica em volumétrica:
\dot m = \frac{10000}{3600}\\ \mathrm{kg/s}=2{,}7778\\ \mathrm{kg/s}, \quad Q = \frac{\dot m}{\rho} = \frac{2{,}7778}{1131{,}89} \approx0{,}002454\\ \mathrm{m^3/s}.
O raio interno é
R = \frac{D}{2} = 0{,}0381\\ \mathrm{m}.
Para um fluido de potência em escoamento laminar plenamente desenvolvido, a queda de pressão por unidade de comprimento satisfaz
Q = \frac{\pi n R^3}{3n+1} \Bigl(\frac{R}{2K L}\,\Delta P\Bigr)^{\!1/n} \quad\Longrightarrow\quad \Delta P = \frac{2K L}{R} \Bigl(\frac{(3n+1)\,Q}{\pi n R^3}\Bigr)^{\!n}.
Substituindo os valores:
3n+1=3\cdot0{,}842+1=3{,}526, \quad A=\frac{(3n+1)\,Q}{\pi n R^3}\approx59{,}11,
\Delta P = \frac{2\cdot2{,}01\cdot9}{0{,}0381}\,(59{,}11)^{0{,}842} \approx2{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 3

Para o perfil de velocidade em fluido de potência, a derivada du/dr vem de
\tau_{r x}=-\frac{\Delta P}{L}\frac{r}{2} e
\tau=K\dot\gamma^n, levando a
u(r) =\int_r^R \Bigl(\frac{\Delta P}{2K L}\,r'\Bigr)^{1/n} dr' =\frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{\Delta P}{2K L}\Bigr)^{1/n} \bigl(R^{1+1/n}-r^{1+1/n}\bigr).
A velocidade máxima no centro ( r=0) é
u_{\max} =\frac{n}{n+1}\Bigl(\frac{\Delta P}{2K L}\Bigr)^{1/n}R^{1+1/n}.
Numericamente,
\frac{\Delta P}{2K L} =\frac{2{,}95\times10^4}{2\cdot2{,}01\cdot9}\approx816{,}5, \quad u_{\max}\approx1{,}03\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

O perfil adimensional fica
\frac{u(r)}{u_{\max}} =1-\Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^{1+1/n}, \quad 1+\frac{1}{n}=1+1{,}1886=2{,}1886.
Para esboçar o gráfico u/u_{\max} versus r/R, basta plotar a curva
u/u_{\max} = 1 - (r/R)^{2{,}1886},
valorizando r/R de 0 a 1. A forma é ligeiramente mais “achatada” que o perfil parabólico de Newton.

Resposta

(i) \Delta P\approx2{,}95\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
(ii) u_{\max}\approx1{,}03\\ \mathrm{m/s}
(iii) Perfil de velocidade
\frac{u(r)}{u_{\max}} =1-\Bigl(\frac{r}{R}\Bigr)^{2{,}1886},
para 0\le r\le R.

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