Um paralelepípedo de chumbo tem a 0^{\circ} \mathrm{C} o volume de 100 litros. A que temperatura ele deve ser aquecido para que seu volume aumente de 0,405 litro? O coeficiente de dilatação linear médio do chumbo é \alpha=27 \cdot 10^{-6 \circ} C^{-1} para o intervalo de temperatura considerado.

Passo 1

O enunciado nos dá um bloco de chumbo com volume inicial de \,V_{0}=100\text{ L} a 0^\circ\text{C}. Queremos aquecê-lo até que o volume aumente em \Delta V=0,405\text{ L}. O coeficiente de dilatação linear médio do chumbo é \alpha=27\times10^{-6}\,^\circ\text{C}^{-1}. O conteúdo envolvido é dilatação térmica volumétrica, e vamos precisar usar a relação entre coeficiente linear e coeficiente volumétrico.

Passo 2

Para sólidos isotrópicos, o coeficiente de dilatação volumétrica \beta é aproximadamente três vezes o coeficiente linear \alpha:
\beta \approx 3\,\alpha.

Passo 3

A fórmula da dilatação volumétrica, para variações pequenas de temperatura, é
\Delta V = V_{0}\,\beta\,\Delta T,
onde \Delta T é a variação de temperatura.

Passo 4

Substituímos \beta=3\alpha na fórmula e isolamos \Delta T:
\Delta V = V_{0}\,(3\alpha)\,\Delta T \quad\Longrightarrow\quad \Delta T = \frac{\Delta V}{3\,\alpha\,V_{0}}.

Passo 5

Agora colocamos os valores numéricos:
\Delta T = \frac{0,405}{3\times(27\times10^{-6})\times100} = \frac{0,405}{(81\times10^{-6})\times100} = \frac{0,405}{8{,}1\times10^{-3}} =50\;^\circ\text{C}.

Resposta

O bloco deve ser aquecido até 50^\circ\text{C}.

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