(2.5 pt) Um paralelepípedo metálico de dimensões d x=5,0 \mathrm{~m}, d y=3,0 \mathrm{~m} e d z=2,0
m está se movendo com velocidade constante v= (20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{k} em uma regiāo onde existe um campo magnético uniforme B=(30 t) j+(1-t) 20 t, em m T e t em s . Determine a ddp entre as extrembdades do objeto para t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado (como eu entendi) dá os seguintes dados e pede a diferença de potencial entre as extremidades do paralelepípedo para t=1\\ \mathrm{s}.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • dimensões: d x=5,0\\ \mathrm{m}, d y=3,0\\ \mathrm{m} e d z=2,0\\ \mathrm{m};
  • velocidade do corpo: \mathbf{v}=(20\\ \mathrm{m/s})\\ \hat{k};
  • campo magnético: \mathbf{B}=(30\,t)\,\hat{j}+(1-t)\,20\,t (em \mathrm{mT}, com t em s);
  • pedir: a ddp entre as extremidades do objeto para t=1\\ \mathrm{s}.
Observações importantes (ambiguidades e minhas escolhas):
  • A expressão do campo magnético no enunciado está confusa na segunda parcela. Eu NÃO tenho certeza sobre o segundo termo; porém noto que em t=1 o fator (1-t) zera esse segundo termo, então, independentemente da sua direção, \mathbf{B} reduz-se a (30\cdot1)\,\hat{j} (em mT). Vou usar essa consequência para calcular em t=1.
  • O enunciado não especifica “entre quais extremidades” (há várias possíveis: ponta em +x e -x, ou em +y/-y, etc.). Vou assumir que a dúvida típica é a ddp ao longo da aresta de comprimento d x=5,0\\ \mathrm{m} (ou seja, entre as extremidades separadas ao longo do eixo x). Se você quisesse outra aresta, o procedimento é idêntico, só muda o vetor separação.
  • Vou trabalhar com unidades SI: converter \mathrm{mT} para \mathrm{T} quando necessário.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar — aula rápida e prática.
Quando um condutor rígido (aqui, o paralelepípedo metálico) se desloca com velocidade \mathbf{v} dentro de um campo magnético \mathbf{B}, as cargas livres no metal têm velocidade \mathbf{v} no referencial do laboratório e, portanto, sofrem força magnética \mathbf{F}_m = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}). Essa força separa cargas até que surja um campo elétrico interno \mathbf{E} que equilibre a força magnética em regime estacionário:
q\mathbf{E} + q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = \mathbf{0}.
Desse equilíbrio obtemos
\mathbf{E} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{B}).
A diferença de potencial (ddp) entre dois pontos A e B do condutor é dada por
V_B - V_A = -\int_{A}^{B} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Substituindo \mathbf{E} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) obtemos a forma prática usada em muitos exercícios:
V_B - V_A = \int_{A}^{B} (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}.
Interpretação prática: para extremidades ligadas por um segmento retilíneo com vetor \Delta\mathbf{l}, a ddp é
\Delta V = (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\Delta\mathbf{l}.
Isso é fácil de calcular: primeiro faz o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B} (resulta num campo elétrico efetivo em \mathrm{V/m}), depois faz o produto escalar com o vetor que liga as extremidades (comprimento e direção do segmento).

Passo 3

Avaliação do campo magnético em t=1\\ \mathrm{s} (usando a observação do Passo 1).
Do enunciado temos \mathbf{B}=(30\,t)\,\hat{j}+(1-t)\,20\,t em \mathrm{mT}. Em t=1 o fator (1-t) é zero, então o segundo termo some e sobra apenas o primeiro termo. Assim:
\mathbf{B}(1\\ \mathrm{s}) = 30\cdot 1\\ \mathrm{mT}\\ \hat{j} = 30\\ \mathrm{mT}\\ \hat{j}.
Converter para tesla:
30\\ \mathrm{mT} = 30\times 10^{-3}\\ \mathrm{T} = 3{,}0\times 10^{-2}\\ \mathrm{T}.
Portanto usaremos \mathbf{B} = 3{,}0\times 10^{-2}\\ \mathrm{T}\\ \hat{j}.

Passo 4

Determinar o vetor separação \Delta\mathbf{l} entre as extremidades que escolhi e escrever \mathbf{v}.
Escolhi calcular a ddp entre as extremidades separadas ao longo do eixo x, isto é, de x=0 até x=d x. O vetor deslocamento do ponto inicial ao final é
\Delta\mathbf{l} = d x\\ \hat{i} = 5{,}0\\ \mathrm{m}\\ \hat{i}.
A velocidade dada é
\mathbf{v} = 20\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{k}.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Usamos \mathbf{v}=20\,\hat{k} (em \mathrm{m/s}) e \mathbf{B}=3{,}0\times10^{-2}\,\hat{j} (em \mathrm{T}). O produto vetorial vale:
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = 20\,\hat{k} \times \bigl(3{,}0\times10^{-2}\,\hat{j}\bigr) = 20\cdot 3{,}0\times10^{-2}\,(\hat{k}\times\hat{j}).
Lembrando as regras dos vetores unitários: \hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}, \hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}, \hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}; portanto \hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}. Logo
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = 20\cdot 3{,}0\times10^{-2}\,(-\hat{i}) = - (20\cdot 3{,}0\times10^{-2})\\ \hat{i}.
Calcule o número:
20\cdot 3{,}0\times10^{-2} = 20\cdot 0{,}03 = 0{,}60.
Portanto
\mathbf{v}\times\mathbf{B} = -0{,}60\\ \hat{i}\\ \\ (\mathrm{V/m}).
Observação física: esse vetor tem unidade \mathrm{m/s}\cdot\mathrm{T}=\mathrm{V/m}, ou seja, é o campo elétrico efetivo que separa cargas.

Passo 6

Calcular a ddp integrando (ou usando o produto escalar com \Delta\mathbf{l}).
Usamos a fórmula do Passo 2:
\Delta V = (\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\Delta\mathbf{l}.
Substituindo \mathbf{v}\times\mathbf{B} = -0{,}60\,\hat{i} e \Delta\mathbf{l}=5{,}0\,\hat{i} obtemos
\Delta V = (-0{,}60\\ \hat{i})\cdot(5{,}0\\ \hat{i}) = -0{,}60\cdot 5{,}0 = -3{,}0\\ \mathrm{V}.
Significado do sinal: se tomamos A como a extremidade em x=0 e B como a extremidade em x=+5{,}0\\ \mathrm{m}, então
V_B - V_A = -3{,}0\\ \mathrm{V}.
Isto significa que o ponto em x=+5{,}0\\ \mathrm{m} está 3{,}0\\ \mathrm{V} mais negativo (ou 3{,}0\\ \mathrm{V} abaixo) que o ponto em x=0.

Passo 7

Resumo físico rápido (pra você entender na prova):
  • A força magnética tenta deslocar as cargas na direção de \mathbf{v}\times\mathbf{B}; as cargas acumulam-se até surgir um campo elétrico que equilibre. Assim a ddp entre duas extremidades é dada por \Delta V=(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot\Delta\mathbf{l}.
  • Aqui em t=1 o campo ficou só na direção \hat{j}, a velocidade está em \hat{k}, então \mathbf{v}\times\mathbf{B} ficou em -\hat{i} (ou seja, apontando para o lado negativo de x), e a ddp ao longo de +x é negativa: -3{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Magnitude: 3{,}0\\ \mathrm{V}. Direção/ sinal depende de como você rotula os pontos finais.

Resposta

-3{,}0\\ \mathrm{V}

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