No paralelepípedo com vértices de base A B C D e superiores E F G H (onde \overrightarrow{A E} é a aresta lateral), definimos: \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{A D} e \vec{w}=\overrightarrow{A E}. Determine a expressão vetorial para a diagonal principal orientada \overrightarrow{A G}.
Passo 1
O enunciado dá um paralelepípedo com base de vértices A,B,C,D e superiores E,F,G,H, onde a aresta lateral é \overrightarrow{A E}. Definem-se os vetores \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{A D} e \vec{w}=\overrightarrow{A E}.
A pergunta é: determinar uma expressão vetorial para a diagonal principal orientada \overrightarrow{A G} usando \vec{u},\vec{v},\vec{w}.
Passo 2
Vou lembrar duas ideias de vetores que vamos usar (de forma bem prática):
Regra do triângulo / soma de vetores: se vamos de um ponto P a Q e de Q a R, então a soma dos vetores \overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q R} é o vetor \overrightarrow{P R}.
Em um paralelepípedo, arestas paralelas têm o mesmo vetor: por exemplo, todas as arestas laterais (como \overrightarrow{A E},\overrightarrow{B F},\overrightarrow{C G},\overrightarrow{D H}) são iguais como vetores; portanto \overrightarrow{C G}=\overrightarrow{A E}=\vec{w}.
Passo 3
Observe o caminho do ponto A até o ponto G. Uma maneira natural de decompor \overrightarrow{A G} é ir de A até C ao longo da base e depois de C até G na aresta lateral. Pela regra do triângulo:
Agora vou expressar \overrightarrow{A C} em função de \vec{u} e \vec{v}. O ponto C é o vértice da base diagonalmente oposto a A. Podemos ir de A a C passando por B: \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}. Como B C é paralelo e congruente a A D, temos \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A D}=\vec{v}. Assim
Já sabemos pela propriedade das arestas laterais do paralelepípedo que
\overrightarrow{C G}=\vec{w},
pois \overrightarrow{C G} é uma aresta lateral deslocada de \overrightarrow{A E}.
Passo 6
Substituindo \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{C G} na expressão do Passo 3:
\overrightarrow{A G}=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}.
Usando a associatividade da soma de vetores, escrevemos de forma mais simples:
\overrightarrow{A G}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
Passo 7
Interpretação final rápida (pra te dar confiança): isso significa que, indo de A até G, você percorre primeiro o vetor base \vec{u} (direção A\to B), depois \vec{v} (direção A\to D ou B\to C) e por fim a altura \vec{w} (direção A\to E ou C\to G). Somando esses três vetores obtemos exatamente a diagonal espacial A\to G.