Sejam
e
vetores não nulos e não paralelos. Descreva geometricamente o vetor resultante da operação
em relação ao plano definido por
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
- Dois vetores
e que são não nulos e não paralelos. - Pede para descrever geometricamente o vetor
em relação ao plano definido por e .
Informações relevantes explicitadas:
- “Não paralelos” significa que
e geram um plano (são linearmente independentes). - A expressão
é uma combinação linear de e .
O que se pede: uma descrição geométrica clara de ondefica em relação ao plano gerado por e (por exemplo: está no plano? como construí-lo geometricamente? é paralelo a algum?).
Passo 2
Entender o conceito chave: combinação linear e espaço gerado.
Definição curta e didática: o conjunto de todos os vetores da forma , com
, é o plano gerado por
e
. Esse conjunto costuma ser escrito como
.
Agora, observar que
Definição curta e didática: o conjunto de todos os vetores da forma
Agora, observar que
é exatamente um vetor da forma
com
e
. Logo
. Em palavras:
pertence ao plano definido por
e
.
Passo 3
Interpretar geometricamente os termos
e
:
- O vetor
é o vetor na mesma direção de com o dobro do comprimento de . Geometricamente, é alongar por fator . - O vetor
aponta na direção oposta a e tem comprimento três vezes o de . Geometricamente, é inverter e alongar por .
Essas operações (multiplicar por escalar) mantêm os vetores na mesma reta que contém
ou
, respectivamente.
Passo 4
Como somar vetores geometricamente (regra do triângulo / do paralelogramo): para obter
faça isto passo a passo:
- A partir da origem (ou de um ponto de referência), desenhe
. - A partir da ponta de
, desenhe (isto é, coloque a cauda de na cabeça de ). - O vetor que vai da origem até a ponta de
(após esse deslocamento) é exatamente .
Alternativa (paralelogramo): desenhe
e
com caudas na origem; complete o paralelogramo; a diagonal que sai da origem é
. Ambas as construções dão a mesma posição para
.
Passo 5
Consequências geométricas importantes e observações úteis para prova:
- Como
é combinação linear de e , está contido no mesmo plano que eles geram. Em termos simples: é coplanar com e . -
não é o vetor nulo porque, se , isso implicaria paralelo a (contradição com hipótese). Portanto . -
não pode ser paralelo a nem a (ver raciocínio rápido): se fosse paralelo a , então existiria tal que , o que leva a e isso tornaria paralelo a , contradizendo a hipótese. Mesmo argumento impede ser paralelo a . - Em linguagem de coordenadas: na base (não ortonormal necessariamente)
, o vetor tem coordenadas . Isso é ótimo para provas porque mostra imediatamente a posição de no plano como uma combinação dos vetores-base.
Passo 6
Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição): se
e
no plano
, então
que é exatamente o ponto de coordenadas
no mesmo plano. A construção geométrica descrita anteriormente dá esse vetor no desenho.
Passo 7
Resumo prático para usar na prova (receita rápida):
- Reconheça que qualquer soma
pertence ao plano gerado por . - Desenhe
e (preste atenção ao sinal de : negativo inverte a direção). - Some geometricamente (triângulo/paralelogramo) para obter o resultado final.
Isso resolve rápido e com segurança problemas desse tipo.
Resposta
O vetor
pertence ao plano gerado por
e
; geometricamente é obtido somando
(dois vezes
) com
(três vezes
invertido) — coloque a cauda de
na cabeça de
e o vetor que vai da origem até a ponta é
.
é não nulo e não é paralelo a
nem a
.