Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores não nulos e não paralelos. Descreva geometricamente o vetor resultante da operação \vec{w}=2 \vec{u}-3 \vec{v} em relação ao plano definido por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Dois vetores \vec{u} e \vec{v} que são não nulos e não paralelos.
  • Pede para descrever geometricamente o vetor \vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v} em relação ao plano definido por \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes explicitadas:
  • “Não paralelos” significa que \vec{u} e \vec{v} geram um plano (são linearmente independentes).
  • A expressão \vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v} é uma combinação linear de \vec{u} e \vec{v}.
    O que se pede: uma descrição geométrica clara de onde \vec{w} fica em relação ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v} (por exemplo: está no plano? como construí-lo geometricamente? é paralelo a algum?).

Passo 2

Entender o conceito chave: combinação linear e espaço gerado.
Definição curta e didática: o conjunto de todos os vetores da forma a\vec{u}+b\vec{v}, com a,b\in\mathbb{R}, é o plano gerado por \vec{u} e \vec{v}. Esse conjunto costuma ser escrito como \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}.
Agora, observar que
\vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v}
é exatamente um vetor da forma a\vec{u}+b\vec{v} com a=2 e b=-3. Logo \vec{w}\in\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}. Em palavras: \vec{w} pertence ao plano definido por \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Interpretar geometricamente os termos 2\vec{u} e -3\vec{v}:
  • O vetor 2\vec{u} é o vetor na mesma direção de \vec{u} com o dobro do comprimento de \vec{u}. Geometricamente, é alongar \vec{u} por fator 2.
  • O vetor -3\vec{v} aponta na direção oposta a \vec{v} e tem comprimento três vezes o de \vec{v}. Geometricamente, é inverter \vec{v} e alongar por 3.
Essas operações (multiplicar por escalar) mantêm os vetores na mesma reta que contém \vec{u} ou \vec{v}, respectivamente.

Passo 4

Como somar vetores geometricamente (regra do triângulo / do paralelogramo): para obter \vec{w}=2\vec{u}+(-3\vec{v}) faça isto passo a passo:
  1. A partir da origem (ou de um ponto de referência), desenhe 2\vec{u}.
  2. A partir da ponta de 2\vec{u}, desenhe -3\vec{v} (isto é, coloque a cauda de -3\vec{v} na cabeça de 2\vec{u}).
  3. O vetor que vai da origem até a ponta de -3\vec{v} (após esse deslocamento) é exatamente \vec{w}.
Alternativa (paralelogramo): desenhe 2\vec{u} e -3\vec{v} com caudas na origem; complete o paralelogramo; a diagonal que sai da origem é \vec{w}. Ambas as construções dão a mesma posição para \vec{w}.

Passo 5

Consequências geométricas importantes e observações úteis para prova:
  • Como \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}, \vec{w} está contido no mesmo plano que eles geram. Em termos simples: \vec{w} é coplanar com \vec{u} e \vec{v}.
  • \vec{w} não é o vetor nulo porque, se 2\vec{u}-3\vec{v}=\vec{0}, isso implicaria \vec{u} paralelo a \vec{v} (contradição com hipótese). Portanto \vec{w}\neq\vec{0}.
  • \vec{w} não pode ser paralelo a \vec{u} nem a \vec{v} (ver raciocínio rápido): se \vec{w} fosse paralelo a \vec{u}, então existiria \lambda tal que 2\vec{u}-3\vec{v}=\lambda\vec{u}, o que leva a (2-\lambda)\vec{u}=3\vec{v} e isso tornaria \vec{u} paralelo a \vec{v}, contradizendo a hipótese. Mesmo argumento impede \vec{w} ser paralelo a \vec{v}.
  • Em linguagem de coordenadas: na base (não ortonormal necessariamente) \{\vec{u},\vec{v}\}, o vetor \vec{w} tem coordenadas (2,-3). Isso é ótimo para provas porque mostra imediatamente a posição de \vec{w} no plano como uma combinação dos vetores-base.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar a intuição): se \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1) no plano \mathbb{R}^2, então
\vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v}=(2,-3),
que é exatamente o ponto de coordenadas (2,-3) no mesmo plano. A construção geométrica descrita anteriormente dá esse vetor no desenho.

Passo 7

Resumo prático para usar na prova (receita rápida):
  • Reconheça que qualquer soma a\vec{u}+b\vec{v} pertence ao plano gerado por \vec{u},\vec{v}.
  • Desenhe a\vec{u} e b\vec{v} (preste atenção ao sinal de b: negativo inverte a direção).
  • Some geometricamente (triângulo/paralelogramo) para obter o resultado final.
    Isso resolve rápido e com segurança problemas desse tipo.

Resposta

O vetor \vec{w}=2\vec{u}-3\vec{v} pertence ao plano gerado por \vec{u} e \vec{v}; geometricamente é obtido somando 2\vec{u} (dois vezes \vec{u}) com -3\vec{v} (três vezes \vec{v} invertido) — coloque a cauda de -3\vec{v} na cabeça de 2\vec{u} e o vetor que vai da origem até a ponta é \vec{w}. \vec{w} é não nulo e não é paralelo a \vec{u} nem a \vec{v}.

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