Se três vetores não nulos
e
satisfazem uma relação linear da forma
, qual é a sua disposição geométrica obrigatória no espaço?
Passo 1
O enunciado dá a relação linear entre três vetores não nulos:
A pergunta é: qual é a disposição geométrica obrigatória desses vetores no espaço?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Os vetores
são não nulos. - Eles satisfazem a relação linear acima (coeficientes reais não todos nulos).
- Pede-se a disposição geométrica (ou seja: se são lineares, coplanares, colineares, etc.).
Passo 2
Entender o que significa a relação dada: ela é uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor nulo. Vou explicar o conceito com calma.
Definição (combinação linear): dizer que
com escalares
, não todos nulos, significa que
são linearmente dependentes. Linearmente dependente quer dizer que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Aqui os escalares são
, então não são todos zero, logo há dependência linear entre
.
Passo 3
Usar a dependência para isolar um vetor e mostrar a relação de dependência explícita.
Da relação dada:
posso isolar
:
Isto é uma expressão importante:
é combinação linear de
e
. Vou explicar o que isso implica geometricamente.
Passo 4
Explicar o conceito de “span” e plano gerado por dois vetores.
Definição (span): o conjunto de todas as combinações lineares de dois vetores
e
é chamado de
. Geometricamente, se
e
não são colineares,
é um plano que passa pela origem e contém todos os vetores da forma
. Como
, temos
.
Conclusão intermediária:
pertencem todos ao mesmo subespaço gerado por
e
. Esse subespaço tem dimensão
(reta) se
e
forem colineares, ou dimensão
(plano) se forem linearmente independentes.
Passo 5
Interpretar os dois casos geométricos possíveis (não pular etapas).
Caso A —
e
não são colineares:
- Então
é um plano que passa pela origem. - Como
está nesse span, todos os três vetores estão contidos nesse mesmo plano. Logo os três vetores são coplanares (estão no mesmo plano que passa pela origem).
Caso B —
e
são colineares:
- Então existe escalar
tal que . - Substituindo na relação original obtemos
, daí , ou seja, também é múltiplo de . - Nesse caso todos os três vetores são colineares (todos alinhados numa mesma reta passando pela origem). Isto é um caso degenerado do caso de coplanaridade (toda reta através da origem está contida em infinitos planos que passam pela origem).
Passo 6
Resumir o raciocínio de forma prática para a prova (receita curta):
- Se houver relação
com coeficientes não todos nulos, então os vetores são linearmente dependentes. - Isso implica que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros (aqui
). - Portanto todos pertencem ao subespaço gerado por dois deles; geometricamente, ficam num mesmo plano que passa pela origem, com a possibilidade degenerada de estarem todos sobre a mesma reta (colineares).
Resposta
Os vetores
são linearmente dependentes e, por isso, estão necessariamente contidos num mesmo plano que passa pela origem. No caso degenerado em que
e
sejam colineares, os três são colineares.