Se três vetores não nulos \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} satisfazem uma relação linear da forma 2 \vec{u}-3 \vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}, qual é a sua disposição geométrica obrigatória no espaço?

Passo 1

O enunciado dá a relação linear entre três vetores não nulos:
2\vec{u}-3\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}.
A pergunta é: qual é a disposição geométrica obrigatória desses vetores no espaço?
Informações relevantes fornecidas:
  • Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são não nulos.
  • Eles satisfazem a relação linear acima (coeficientes reais não todos nulos).
  • Pede-se a disposição geométrica (ou seja: se são lineares, coplanares, colineares, etc.).

Passo 2

Entender o que significa a relação dada: ela é uma combinação linear dos vetores que resulta no vetor nulo. Vou explicar o conceito com calma.
Definição (combinação linear): dizer que a\vec{x}+b\vec{y}+c\vec{z}=\overrightarrow{0} com escalares a,b,c, não todos nulos, significa que \vec{x},\vec{y},\vec{z} são linearmente dependentes. Linearmente dependente quer dizer que um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Aqui os escalares são 2,-3,1, então não são todos zero, logo há dependência linear entre \vec{u},\vec{v},\vec{w}.

Passo 3

Usar a dependência para isolar um vetor e mostrar a relação de dependência explícita.
Da relação dada:
2\vec{u}-3\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}
posso isolar \vec{w}:
\vec{w}=-2\vec{u}+3\vec{v}.
Isto é uma expressão importante: \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v}. Vou explicar o que isso implica geometricamente.

Passo 4

Explicar o conceito de “span” e plano gerado por dois vetores.
Definição (span): o conjunto de todas as combinações lineares de dois vetores \vec{u} e \vec{v} é chamado de \mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\}. Geometricamente, se \vec{u} e \vec{v} não são colineares, \mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é um plano que passa pela origem e contém todos os vetores da forma a\vec{u}+b\vec{v}. Como \vec{w}=-2\vec{u}+3\vec{v}, temos \vec{w}\in\mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\}.
Conclusão intermediária: \vec{u},\vec{v},\vec{w} pertencem todos ao mesmo subespaço gerado por \vec{u} e \vec{v}. Esse subespaço tem dimensão 1 (reta) se \vec{u} e \vec{v} forem colineares, ou dimensão 2 (plano) se forem linearmente independentes.

Passo 5

Interpretar os dois casos geométricos possíveis (não pular etapas).
Caso A — \vec{u} e \vec{v} não são colineares:
  • Então \mathrm{span}\{\vec{u},\vec{v}\} é um plano que passa pela origem.
  • Como \vec{w} está nesse span, todos os três vetores estão contidos nesse mesmo plano. Logo os três vetores são coplanares (estão no mesmo plano que passa pela origem).
Caso B — \vec{u} e \vec{v} são colineares:
  • Então existe escalar \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}.
  • Substituindo na relação original obtemos 2\lambda\vec{v}-3\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{0}, daí \vec{w}=(3-2\lambda)\vec{v}, ou seja, \vec{w} também é múltiplo de \vec{v}.
  • Nesse caso todos os três vetores são colineares (todos alinhados numa mesma reta passando pela origem). Isto é um caso degenerado do caso de coplanaridade (toda reta através da origem está contida em infinitos planos que passam pela origem).

Passo 6

Resumir o raciocínio de forma prática para a prova (receita curta):
  • Se houver relação a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}=\overrightarrow{0} com coeficientes não todos nulos, então os vetores são linearmente dependentes.
  • Isso implica que pelo menos um vetor é combinação linear dos outros (aqui \vec{w}=-2\vec{u}+3\vec{v}).
  • Portanto todos pertencem ao subespaço gerado por dois deles; geometricamente, ficam num mesmo plano que passa pela origem, com a possibilidade degenerada de estarem todos sobre a mesma reta (colineares).

Resposta

Os vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} são linearmente dependentes e, por isso, estão necessariamente contidos num mesmo plano que passa pela origem. No caso degenerado em que \vec{u} e \vec{v} sejam colineares, os três são colineares.

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