Represente cada função a seguir no intervalo
e determine o conjunto imagem.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- representar graficamente
no intervalo ; - determinar o conjunto imagem de
nesse intervalo.
A função dada é
e o intervalo considerado é
.
Passo 2
Vamos revisar fatos básicos sobre
e o efeito de multiplicá-la por
.
-
Propriedades de
relevantes: -
é uma função periódica de período . - O valor de
pertence ao intervalo para todo . -
é uma função par: . - Em particular, em
a função atinge e .
-
-
Efeito de multiplicar por
: - Multiplicar por
reflete o gráfico em relação ao eixo . - Portanto,
tem a mesma amplitude e período que , mas invertido em sinal. - Como
é par, também é par: .
- Multiplicar por
Passo 3
Calculemos valores-chave em
(essas contas são úteis para desenhar o gráfico):
Observações a partir desses pontos:
- Em
obtém-se o valor . - Em
obtém-se o valor . - Em
o valor é .
Passo 4
Análise de monotonicidade (útil para o formato do gráfico):
- Derivada de
:
- Sinal de
em : - Em
, , logo : é decrescente nesse intervalo. - Em
, , logo : é crescente nesse intervalo. - Nos pontos
a derivada é zero ( ), indicando extremos ou pontos críticos.
- Em
- Conclusão:
decresce de até (de até ) e cresce de até (de até ). Isso confirma que é mínimo relativo (e global no intervalo) e são máximos relativos (e globais no intervalo).
Passo 5
Determinação do conjunto imagem:
- Sabendo que
para todo , tem-se também (a multiplicação por apenas troca sinais dentro do mesmo intervalo). - Como verificamos nos cálculos do Passo 3, os extremos
e são efetivamente alcançados no intervalo (em e , respectivamente). - Portanto o conjunto imagem de
no intervalo é o intervalo fechado .
Passo 6
Descrição final do gráfico para desenhar (passo-a-passo prático para fazer no papel):
- Marcar no eixo
os pontos . - Marcar no eixo
os valores . - Colocar pontos:
, , , , . - Ligar esses pontos por uma curva suave (côncava para baixo entre
e , côncava para cima entre e ), formando a cópia invertida da cosseno usual. A curva é simétrica em relação ao eixo .
Resposta
Gráfico: curva simétrica (par) que vale
em
, vale
em
e passa por
em
.\n
Conjunto imagem:
Conjunto imagem: