Represente cada função a seguir no intervalo [-\pi, \pi] e determine o conjunto imagem.
\mathrm{g}(\mathrm{x})=-\cos (\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função g:
  • representar graficamente g no intervalo [- \pi,\pi];
  • determinar o conjunto imagem de g nesse intervalo.
A função dada é
g(x) = -\cos(x),
e o intervalo considerado é [- \pi,\pi].

Passo 2

Vamos revisar fatos básicos sobre \cos(x) e o efeito de multiplicá-la por -1.
  • Propriedades de \cos(x) relevantes:
    • \cos(x) é uma função periódica de período 2\pi.
    • O valor de \cos(x) pertence ao intervalo [-1,1] para todo x.
    • \cos(x) é uma função par: \cos(-x)=\cos(x).
    • Em particular, em [- \pi,\pi] a função \cos atinge \cos(0)=1 e \cos(\pm\pi)=-1.
  • Efeito de multiplicar por -1:
    • Multiplicar por -1 reflete o gráfico em relação ao eixo x.
    • Portanto, g(x)=-\cos(x) tem a mesma amplitude e período que \cos(x), mas invertido em sinal.
    • Como \cos é par, g também é par: g(-x)=g(x).

Passo 3

Calculemos valores-chave em [- \pi,\pi] (essas contas são úteis para desenhar o gráfico):
\begin{aligned} g(-\pi)&=-\cos(-\pi)=-\cos(\pi)=-(-1)=1,\\\ g\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=-(0)=0,\\\ g(0)&=-\cos(0)=-(1)=-1,\\\ g\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\\\ g(\pi)&=-\cos(\pi)=-(-1)=1. \end{aligned}
Observações a partir desses pontos:
  • Em x=0 obtém-se o valor -1.
  • Em x=\pm\pi obtém-se o valor 1.
  • Em x=\pm \tfrac{\pi}{2} o valor é 0.

Passo 4

Análise de monotonicidade (útil para o formato do gráfico):
  • Derivada de g:
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr)=\sin x.
  • Sinal de g'(x) em [- \pi,\pi]:
    • Em (- \pi,0), \sin x<0, logo g'(x)<0: g é decrescente nesse intervalo.
    • Em (0,\pi), \sin x>0, logo g'(x)>0: g é crescente nesse intervalo.
    • Nos pontos x=-\pi,0,\pi a derivada é zero ( \sin x=0), indicando extremos ou pontos críticos.
  • Conclusão: g decresce de x=-\pi até x=0 (de 1 até -1) e cresce de x=0 até x=\pi (de -1 até 1). Isso confirma que x=0 é mínimo relativo (e global no intervalo) e x=\pm\pi são máximos relativos (e globais no intervalo).

Passo 5

Determinação do conjunto imagem:
  • Sabendo que \cos(x)\in[-1,1] para todo x, tem-se -\cos(x)\in[-1,1] também (a multiplicação por -1 apenas troca sinais dentro do mesmo intervalo).
  • Como verificamos nos cálculos do Passo 3, os extremos -1 e 1 são efetivamente alcançados no intervalo [- \pi,\pi] (em x=0 e x=\pm\pi, respectivamente).
  • Portanto o conjunto imagem de g no intervalo [- \pi,\pi] é o intervalo fechado [-1,1].

Passo 6

Descrição final do gráfico para desenhar (passo-a-passo prático para fazer no papel):
  • Marcar no eixo x os pontos -\pi,-\tfrac{\pi}{2},0,\tfrac{\pi}{2},\pi.
  • Marcar no eixo y os valores -1,0,1.
  • Colocar pontos: (- \pi,1), (- \tfrac{\pi}{2},0), (0,-1), (\tfrac{\pi}{2},0), (\pi,1).
  • Ligar esses pontos por uma curva suave (côncava para baixo entre -\pi e 0, côncava para cima entre 0 e \pi), formando a cópia invertida da cosseno usual. A curva é simétrica em relação ao eixo y.

Resposta

Gráfico: curva simétrica (par) que vale 1 em x=\pm\pi, vale -1 em x=0 e passa por 0 em x=\pm\tfrac{\pi}{2}.\n
Conjunto imagem: [-1,1]

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