Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)( Lemniscata de Bernoulli)

Passo 1

O enunciado dá a equação da lemniscata de Bernoulli
\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)
e pede uma parametrização da curva. Vou listar o que temos e o que queremos:
  • Informação dada: a equação cartesiana acima (com a>0 assumido como parâmetro real).
  • O que é pedido: escrever x e y como funções de um parâmetro único (por exemplo \theta ou t), cobrindo cada ramo (lóbulo) da lemniscata.
    Não vou resolver nada agora; só identifiquei a meta e a equação que usaremos.

Passo 2

Idéia natural: usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que ajudam.
  • Em coordenadas polares definimos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta o ângulo.
  • Substituir x e y por r\cos\theta e r\sin\theta transforma expressões envolvendo x^{2}+y^{2} e x^{2}-y^{2} em funções simples de r e \theta, porque
x^{2}+y^{2}=r^{2},\qquad x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos 2\theta.
Isso tende a simplificar a equação da curva.

Passo 3

Faço a substituição na equação dada. Peguei x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, então
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=(r^{2})^{2}=r^{4}, \qquad x^{2}-y^{2}=r^{2}\cos 2\theta.
Substituindo na equação da lemniscata resulta
r^{4}=2a^{2}\,r^{2}\cos 2\theta.
Posso simplificar por r^{2}. Há um caso especial r=0 que satisfaz a equação (origem), e para r\neq0 obtenho
r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta.

Passo 4

Da relação r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta concluo:
  • Para termos r^{2}\ge0 é necessário \cos 2\theta\ge0. Ou seja, \theta só pode variar onde \cos 2\theta\ge0.
  • Tomando a raiz positiva padronizada ( r\ge0),
r=a\sqrt{2\cos 2\theta},
definida somente quando \cos 2\theta\ge0.
Explicando a condição de domínio: \cos 2\theta\ge0 acontece quando
-\tfrac{\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{\pi}{4}\quad\text{ou}\quad \tfrac{3\pi}{4}\le\theta\le\tfrac{5\pi}{4},
estas duas faixas correspondem aos dois lóbulos (direito e esquerdo) alinhados ao eixo x.

Passo 5

Agora escrevo a parametrização em coordenadas cartesianas usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Substituindo r=a\sqrt{2\cos 2\theta} obtenho as fórmulas (válidas onde \cos 2\theta\ge0):
x(\theta)=a\sqrt{2\cos 2\theta}\,\cos\theta, \qquad y(\theta)=a\sqrt{2\cos 2\theta}\,\sin\theta.
Estas duas funções de \theta parametrizeiam a curva. Para cobrir separadamente cada lóbulo escolhe-se o intervalo adequado de \theta:
  • Lóbulo direito (parte com x\ge0): \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right].
  • Lóbulo esquerdo (parte com x\le0): \theta\in\left[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right].
    Nos extremos \theta=\pm\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4} temos \cos 2\theta=0 e r=0, i.e. os lóbulos se juntam na origem.

Passo 6

Comentário prático (como usar isso na prova):
  • A ideia chave é sempre tentar coordenadas que simplifiquem termos simétricos; aqui x^{2}+y^{2} vira r^{2} e x^{2}-y^{2} vira r^{2}\cos 2\theta.
  • Ao obter r^{2}=\text{(algo em }\theta) lembre-se de impor a condição de não-negatividade e de escolher a raiz r\ge0.
  • Se o enunciado pedir apenas “uma parametrização” normalmente a expressão em \theta acima já é suficiente; se pedir “cada lóbulo” especifique os intervalos de \theta como dei.

Passo 7

Alternativa (opcional) para escrever num único parâmetro que percorre ambos os lóbulos: pode usar \theta variando no conjunto
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right],
com as mesmas fórmulas para x(\theta),y(\theta). Outra alternativa é permitir r com sinal ( r=\pm a\sqrt{2\cos 2\theta}) e então tomar \theta em um intervalo contínuo de comprimento 2\pi; isso cobre a curva mas é menos usual porque usamos r\ge0 em polares.

Resposta

x(\theta)=a\sqrt{2\cos 2\theta}\,\cos\theta,\quad y(\theta)=a\sqrt{2\cos 2\theta}\,\sin\theta,\quad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\right] (lóbulo direito)\newline
x(\theta)=a\sqrt{2\cos 2\theta}\,\cos\theta,\quad y(\theta)=a\sqrt{2\cos 2\theta}\,\sin\theta,\quad \theta\in\left[\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\right] (lóbulo esquerdo)

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