Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
Lemniscata de Bernoulli)
Passo 1
O enunciado dá a equação da lemniscata de Bernoulli
e pede uma parametrização da curva. Vou listar o que temos e o que queremos:
- Informação dada: a equação cartesiana acima (com
assumido como parâmetro real). - O que é pedido: escrever
e como funções de um parâmetro único (por exemplo ou ), cobrindo cada ramo (lóbulo) da lemniscata.
Não vou resolver nada agora; só identifiquei a meta e a equação que usaremos.
Passo 2
Idéia natural: usar coordenadas polares. Vou explicar o que são e por que ajudam.
- Em coordenadas polares definimos
e , onde é a distância ao origem e o ângulo. - Substituir
e por e transforma expressões envolvendo e em funções simples de e , porque
Isso tende a simplificar a equação da curva.
Passo 3
Faço a substituição na equação dada. Peguei
e
, então
Substituindo na equação da lemniscata resulta
Posso simplificar por
. Há um caso especial
que satisfaz a equação (origem), e para
obtenho
Passo 4
Da relação
concluo:
- Para termos
é necessário . Ou seja, só pode variar onde . - Tomando a raiz positiva padronizada (
),
definida somente quando
.
Explicando a condição de domínio: acontece quando
Explicando a condição de domínio:
estas duas faixas correspondem aos dois lóbulos (direito e esquerdo) alinhados ao eixo
.
Passo 5
Agora escrevo a parametrização em coordenadas cartesianas usando
e
. Substituindo
obtenho as fórmulas (válidas onde
):
Estas duas funções de
parametrizeiam a curva. Para cobrir separadamente cada lóbulo escolhe-se o intervalo adequado de
:
- Lóbulo direito (parte com
): . - Lóbulo esquerdo (parte com
): .
Nos extremose temos e , i.e. os lóbulos se juntam na origem.
Passo 6
Comentário prático (como usar isso na prova):
- A ideia chave é sempre tentar coordenadas que simplifiquem termos simétricos; aqui
vira e vira . - Ao obter
lembre-se de impor a condição de não-negatividade e de escolher a raiz . - Se o enunciado pedir apenas “uma parametrização” normalmente a expressão em
acima já é suficiente; se pedir “cada lóbulo” especifique os intervalos de como dei.
Passo 7
Alternativa (opcional) para escrever num único parâmetro que percorre ambos os lóbulos: pode usar
variando no conjunto
com as mesmas fórmulas para
. Outra alternativa é permitir
com sinal (
) e então tomar
em um intervalo contínuo de comprimento
; isso cobre a curva mas é menos usual porque usamos
em polares.