Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
A parábola
.
A parábola
Passo 1
O enunciado pede: “Dê uma parametrização para cada uma das curvas: A parábola
.”
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A curva é a parábola definida implicitamente por
. - Precisa-se fornecer funções
e (ou vetoriais ) que, ao variar o parâmetro em um intervalo, gerem exatamente todos os pontos da parábola (ou, quando necessário, as duas “metades” da curva).
Passo 2
O que é uma parametrização — mini-aula rápida e prática:
- Uma parametrização de uma curva no plano é uma função vetorial
tal que, para cada no domínio escolhido, o ponto satisfaz a equação da curva. - Para uma curva dada por
, uma forma direta de parametrizar é escolher uma das coordenadas como parâmetro (por exemplo ou ) e expressar a outra em função desse parâmetro. Isso funciona sempre que a equação puder ser resolvida para essa coordenada. - No caso de
, podemos resolver facilmente para em termos de : . Assim uma parametrização natural é tomar e . Vou detalhar isso no próximo passo.
Passo 3
Parametrização usando
como parâmetro (a mais direta):
- Seja
e defina
- Verificação: substituindo,
portanto
satisfaz a equação da parábola para todo
.
- Domínio:
(cobre toda a parábola, já que varia por todos os reais). - Orientação: à medida que
aumenta, movemo-nos para a direita ao longo da parábola quando aumenta (porque ). - Exemplos concretos:
, , . Esses pontos estão na parábola.
Passo 4
Outra parametrização equivalente (reparametrização com coeficientes inteiros):
- Defina
e
- Verificação:
logo também gera a parábola inteira para
.
- Observação: essa é a mesma curva reparametrizada (basta substituir
por na parametrização do passo anterior). Às vezes essa forma é preferida pois evita frações.
Passo 5
Parametrização usando
como parâmetro (mostrando as duas “metades”):
- Podemos resolver para
em termos de : . Isso exige . Assim, usando um parâmetro com , obtemos duas parametrizações separadas para as metades direita e esquerda:
- Essas duas curvas juntas cobrem toda a parábola; cada uma é uma “folha” (ramo) com
. Note que nessa escolha há uma singularidade da derivada na origem por causa da raiz, ou seja, a parametrização em termos de tem comportamento menos suave em .
Passo 6
Regularidade e escolhas práticas para prova:
- Para provas ou exercícios em que se deseja uma parametrização suave e simples, prefira
ou . Essas são regulares (derivada não nula): por exemplo, para tem , que nunca é o vetor zero. Isso facilita cálculos de tangente, integral de linha, etc. - A parametrização com
é útil quando se quer separar lados esquerdo/direito ou trabalhar com explícito, mas tem derivada problemática em .