Dê uma parametrização para cada uma das curvas:
A parábola x^{2}=4 y.

Passo 1

O enunciado pede: “Dê uma parametrização para cada uma das curvas: A parábola x^{2}=4y.”
Informações relevantes dadas:
  • A curva é a parábola definida implicitamente por \,x^{2}=4y.
  • Precisa-se fornecer funções x(t) e y(t) (ou vetoriais \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))) que, ao variar o parâmetro t em um intervalo, gerem exatamente todos os pontos da parábola (ou, quando necessário, as duas “metades” da curva).

Passo 2

O que é uma parametrização — mini-aula rápida e prática:
  • Uma parametrização de uma curva no plano é uma função vetorial \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) tal que, para cada t no domínio escolhido, o ponto (x(t),y(t)) satisfaz a equação da curva.
  • Para uma curva dada por F(x,y)=0, uma forma direta de parametrizar é escolher uma das coordenadas como parâmetro (por exemplo x=t ou y=t) e expressar a outra em função desse parâmetro. Isso funciona sempre que a equação puder ser resolvida para essa coordenada.
  • No caso de \,x^{2}=4y, podemos resolver facilmente para y em termos de x: y=\dfrac{x^{2}}{4}. Assim uma parametrização natural é tomar x=t e y=t^{2}/4. Vou detalhar isso no próximo passo.

Passo 3

Parametrização usando x como parâmetro (a mais direta):
  • Seja t\in\mathbb{R} e defina
x(t)=t,\qquad y(t)=\dfrac{t^{2}}{4}.
  • Verificação: substituindo,
x(t)^{2}=t^{2}=4\cdot\frac{t^{2}}{4}=4y(t),
portanto (x(t),y(t)) satisfaz a equação da parábola para todo t.
  • Domínio: t\in\mathbb{R} (cobre toda a parábola, já que x varia por todos os reais).
  • Orientação: à medida que t aumenta, movemo-nos para a direita ao longo da parábola quando t aumenta (porque x(t)=t).
  • Exemplos concretos: t=0\Rightarrow(0,0), t=2\Rightarrow(2,1), t=-2\Rightarrow(-2,1). Esses pontos estão na parábola.

Passo 4

Outra parametrização equivalente (reparametrização com coeficientes inteiros):
  • Defina t\in\mathbb{R} e
x(t)=2t,\qquad y(t)=t^{2}.
  • Verificação:
x(t)^{2}=(2t)^{2}=4t^{2}=4y(t),
logo também gera a parábola inteira para t\in\mathbb{R}.
  • Observação: essa é a mesma curva reparametrizada (basta substituir t por t/2 na parametrização do passo anterior). Às vezes essa forma é preferida pois evita frações.

Passo 5

Parametrização usando y como parâmetro (mostrando as duas “metades”):
  • Podemos resolver para x em termos de y: x=\pm 2\sqrt{y}. Isso exige y\ge 0. Assim, usando um parâmetro s\ge 0 com s=y, obtemos duas parametrizações separadas para as metades direita e esquerda:
\mathbf{r}_\text{direita}(s)=\bigl(2\sqrt{s},\,s\bigr),\qquad s\in[0,\infty),
\mathbf{r}_\text{esquerda}(s)=\bigl(-2\sqrt{s},\,s\bigr),\qquad s\in[0,\infty).
  • Essas duas curvas juntas cobrem toda a parábola; cada uma é uma “folha” (ramo) com y\ge0. Note que nessa escolha há uma singularidade da derivada na origem por causa da raiz, ou seja, a parametrização em termos de \sqrt{s} tem comportamento menos suave em s=0.

Passo 6

Regularidade e escolhas práticas para prova:
  • Para provas ou exercícios em que se deseja uma parametrização suave e simples, prefira x=t,\;y=t^{2}/4 ou x=2t,\;y=t^{2}. Essas são regulares (derivada não nula): por exemplo, para \mathbf{r}(t)=(t,t^{2}/4) tem \mathbf{r}'(t)=(1,t/2), que nunca é o vetor zero. Isso facilita cálculos de tangente, integral de linha, etc.
  • A parametrização com \sqrt{\cdot} é útil quando se quer separar lados esquerdo/direito ou trabalhar com y explícito, mas tem derivada problemática em y=0.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(t,\dfrac{t^{2}}{4}\bigr),\\ t\in\mathbb{R}.
\mathbf{r}(t)=\bigl(2t,t^{2}\bigr),\\ t\in\mathbb{R}.
\mathbf{r}_{\text{direita}}(s)=\bigl(2\sqrt{s},s\bigr),\\ s\in[0,\infty),\quad \mathbf{r}_{\text{esquerda}}(s)=\bigl(-2\sqrt{s},s\bigr),\\ s\in[0,\infty).

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