(Parametrização por comprimento de arco) Para cada uma das curvas abaixo, determine a parametrização em função do comprimento de arco s, medido a partir do ponto indicado.
\vec{r}(t)=\langle 3 t, 4 t\rangle, \quad t \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A curva é dada por \vec{r}(t)=\langle 3t,\,4t\rangle com t\ge 0.
  • O ponto indicado para medir o comprimento de arco é o ponto correspondente a t=0 (ou seja, a origem \langle 0,0\rangle), pois o enunciado pede o comprimento de arco medido “a partir do ponto indicado” e só foi dado t\ge0.
    O que o problema pede:
  • Encontrar uma parametrização da mesma curva em função do comprimento de arco s, medido a partir de t=0. Em outras palavras, achar \vec{r}(s) tal que s seja o comprimento medido desde t=0.

Passo 2

Vou explicar o conceito e a fórmula que vamos usar (isso é importante para a prova).
  • Para uma curva \vec{r}(t) suave, o comprimento de arco desde t_0 até t é dado por
s(t)=\int_{t_0}^{t}\big\|\vec{r}\,'(u)\big\|\,du.
Aqui \vec{r}\,'(u) é a derivada vetor da curva em relação a u, e \|\vec{r}\,'(u)\| é a norma (magnitude) desse vetor, que representa a velocidade escalar da curva. Medindo s a partir de t_0, obtemos uma função s(t); para reparametrizar por comprimento de arco, invertemos essa função para obter t em função de s, t=t(s), e então substituímos na curva original: \vec{r}(s)=\vec{r}(t(s)).
  • Observação prática: se a velocidade \|\vec{r}\,'(t)\| for constante, a integral fica muito simples e s é proporcional a t, o que facilita bastante.

Passo 3

Calcular a derivada da curva e a velocidade.
  • Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\langle 3,\,4\rangle.
  • A norma (velocidade escalar) é
\big\|\vec{r}\,'(t)\big\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Note que a velocidade é constante e igual a 5. Isso significa que a curva é um segmento de reta parametrizado com velocidade constante 5 a partir de t=0.

Passo 4

Calcular o comprimento de arco s em função de t, medido a partir de t_0=0.
  • Usando a fórmula do comprimento e que a velocidade é constante:
s(t)=\int_{0}^{t} \big\|\vec{r}\,'(u)\big\|\,du=\int_{0}^{t} 5\,du = 5t.
Portanto a relação entre s e t é simplesmente s=5t.

Passo 5

Inverter a relação para obter t em função de s.
  • A partir de s=5t obtemos
t=\frac{s}{5}.
Como t\ge0, o domínio de s será s\ge0.

Passo 6

Substituir t=\dfrac{s}{5} na parametrização original para obter \vec{r}(s).
  • Fazendo a substituição:
\vec{r}(s)=\vec{r}\!\left(\frac{s}{5}\right)=\left\langle 3\cdot\frac{s}{5},\,4\cdot\frac{s}{5}\right\rangle=\left\langle \frac{3}{5}s,\,\frac{4}{5}s\right\rangle.

Passo 7

Verificar que essa parametrização está realmente por comprimento de arco (ou seja, tem velocidade unitária).
  • Derivando em relação a s:
\frac{d}{ds}\vec{r}(s)=\left\langle \frac{3}{5},\,\frac{4}{5}\right\rangle.
  • Norma dessa derivada:
\left\|\frac{d}{ds}\vec{r}(s)\right\|=\sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{25}{25}}=1.
Como a velocidade em relação a s é 1, s é de fato o comprimento de arco e \vec{r}(s) é a parametrização por comprimento de arco. Também confirma que o domínio é s\ge0.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(s)=\left\langle \frac{3}{5}s,\,\frac{4}{5}s\right\rangle,\quad s\ge 0

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