(Parametrização por comprimento de arco) Para cada uma das curvas abaixo, determine a parametrização em função do comprimento de arco s, medido a partir do ponto indicado. \vec{r}(t)=\langle 3 t, 4 t\rangle, \quad t \geq 0.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
A curva é dada por \vec{r}(t)=\langle 3t,\,4t\rangle com t\ge 0.
O ponto indicado para medir o comprimento de arco é o ponto correspondente a t=0 (ou seja, a origem \langle 0,0\rangle), pois o enunciado pede o comprimento de arco medido “a partir do ponto indicado” e só foi dado t\ge0.
O que o problema pede:
Encontrar uma parametrização da mesma curva em função do comprimento de arco s, medido a partir de t=0. Em outras palavras, achar \vec{r}(s) tal que s seja o comprimento medido desde t=0.
Passo 2
Vou explicar o conceito e a fórmula que vamos usar (isso é importante para a prova).
Para uma curva \vec{r}(t) suave, o comprimento de arco desde t_0 até t é dado por
s(t)=\int_{t_0}^{t}\big\|\vec{r}\,'(u)\big\|\,du.
Aqui \vec{r}\,'(u) é a derivada vetor da curva em relação a u, e \|\vec{r}\,'(u)\| é a norma (magnitude) desse vetor, que representa a velocidade escalar da curva. Medindo s a partir de t_0, obtemos uma função s(t); para reparametrizar por comprimento de arco, invertemos essa função para obter t em função de s, t=t(s), e então substituímos na curva original: \vec{r}(s)=\vec{r}(t(s)).
Observação prática: se a velocidade \|\vec{r}\,'(t)\| for constante, a integral fica muito simples e s é proporcional a t, o que facilita bastante.
Note que a velocidade é constante e igual a 5. Isso significa que a curva é um segmento de reta parametrizado com velocidade constante 5 a partir de t=0.
Passo 4
Calcular o comprimento de arco s em função de t, medido a partir de t_0=0.
Usando a fórmula do comprimento e que a velocidade é constante:
Como a velocidade em relação a s é 1, s é de fato o comprimento de arco e \vec{r}(s) é a parametrização por comprimento de arco. Também confirma que o domínio é s\ge0.