Dê uma parametrização para a curva r dada pela interseção das seguintes superfícies:
x^2+y^2+z^2=R^2 e 4(x^2+y^2)=R^2, R>0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
  1. Uma esfera com equação x^2 + y^2 + z^2 = R^2 .
  2. Um cilindro com equação 4(x^2 + y^2) = R^2 e R > 0 .
O que a gente precisa fazer é encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Ou seja, queremos descrever essa curva usando uma função que varia com um parâmetro, geralmente denotado por theta .
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e um pouquinho de trigonometria. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cilindro: 4(x^2 + y^2) = R^2 .
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 4:
x^2 + y^2 = R^24
Isso mostra que, para qualquer valor de z , a seção transversal do cilindro no plano xy é um círculo com raio R2 .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a equação da esfera: x^2 + y^2 + z^2 = R^2 .
Sabemos que a interseção das duas superfícies deve satisfazer as duas equações simultaneamente. Então, podemos substituir x^2 + y^2 da equação do cilindro na equação da esfera.
Substituindo:
R^24 + z^2 = R^2

Passo 4

Vamos resolver para z^2 :
z^2 = R^2 - R^24 = 3R^24
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
z = pm raiz3R2
Isso significa que a interseção ocorre em dois círculos planos, um acima e outro abaixo do plano xy , a uma distância raiz3R2 do centro.

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a curva de interseção. Como estamos lidando com círculos no plano xy , podemos usar coordenadas polares para facilitar.
Sabemos que qualquer ponto no círculo x^2 + y^2 = R^24 pode ser descrito por:
x = R2 cos theta
y = R2 sin theta
Onde theta varia de 0 a 2pi .

Passo 6

Nós já sabemos os valores de x e y em termos de theta . Agora, precisamos adicionar o valor de z . Como a interseção ocorre em duas posições para z , temos duas possibilidades:
  1. z = raiz3R2
  2. z = -raiz3R2
Então, a parametrização completa para cada círculo é:
Para z = raiz3R2 :
r(theta) = ( R2 cos theta, R2 sin theta, raiz3R2 )
E para z = -raiz3R2 :
r(theta) = ( R2 cos theta, R2 sin theta, -raiz3R2 )

Resposta

A parametrização para a curva de interseção é dada por:
r(theta) = ( R2 cos theta, R2 sin theta, pm, raiz3, R2 ), com theta in [0, 2pi)

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