Dê uma parametrização para a curva
dada pela interseção das seguintes superfícies:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
- Uma esfera com equação
. - Um cilindro com equação
e .
O que a gente precisa fazer é encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção dessas duas superfícies. Ou seja, queremos descrever essa curva usando uma função que varia com um parâmetro, geralmente denotado por
.
Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e um pouquinho de trigonometria. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cilindro:
.
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 4:
Isso mostra que, para qualquer valor de
, a seção transversal do cilindro no plano
é um círculo com raio
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a equação da esfera:
.
Sabemos que a interseção das duas superfícies deve satisfazer as duas equações simultaneamente. Então, podemos substituir
da equação do cilindro na equação da esfera.
Substituindo:
Passo 4
Vamos resolver para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
Isso significa que a interseção ocorre em dois círculos planos, um acima e outro abaixo do plano
, a uma distância
do centro.
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a curva de interseção. Como estamos lidando com círculos no plano
, podemos usar coordenadas polares para facilitar.
Sabemos que qualquer ponto no círculo
pode ser descrito por:
Onde
varia de
a
.
Passo 6
Nós já sabemos os valores de
e
em termos de
. Agora, precisamos adicionar o valor de
. Como a interseção ocorre em duas posições para
, temos duas possibilidades:
Então, a parametrização completa para cada círculo é:
Para
:
E para
:
Resposta
A parametrização para a curva de interseção é dada por: