Resolva a seguinte EDO: y^prime prime-3 y^prime-4 y=3 e^2 t.
Encontre a Solução Particular, Yp;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é y'' - 3y' - 4y = 3 e^2t . A matéria aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para encontrar a Solução Particular Yp , vamos precisar usar o método da Coeficientes Indeterminados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a parte não homogênea da equação, ou seja, o lado direito 3 e^2t . Isso significa que estamos procurando uma solução específica da equação que tenha a forma de um múltiplo de e^2t .

Passo 3

Agora, propomos uma forma para Yp . Como o termo não homogêneo é e^2t , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Yp = A e^2t
onde A é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Para encontrar o valor de A , vamos substituir Yp na equação original. Primeiro, calculamos as derivadas de Yp :
Yp' = 2A e^2t
Yp'' = 4A e^2t

Passo 5

Substituindo Yp , Yp' e Yp'' na equação y'' - 3y' - 4y = 3 e^2t , temos:
4A e^2t - 3(2A e^2t) - 4(A e^2t) = 3 e^2t
Simplificando:
4A e^2t - 6A e^2t - 4A e^2t = 3 e^2t
(-6A) e^2t = 3 e^2t

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
-6A = 3
Resolvendo para A :
A = -36 = -12

Resposta

A Solução Particular é:
Yp = -12 e^2t

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