Resolva o seguinte P.V.I.:
Encontre a solução Geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas, especialmente o método das raízes características. Vamos passo a passo entender como achar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
y'' - 3y' = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 3
Para resolver, vamos usar o método das raízes características. Isso envolve substituir a equação diferencial por uma equação algébrica. Assumimos que a solução tem a forma y = e^rt , onde r é uma constante que precisamos encontrar. Então, derivamos:
y' = re^rt y'' = r^2 e^rt
Passo 4
Substituindo y , y' e y'' na equação diferencial:
r^2 e^rt - 3r e^rt = 0
Podemos dividir ambos os lados por e^rt (já que e^rt neq 0 ):
r^2 - 3r = 0
Passo 5
Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 - 3r = 0 r(r - 3) = 0
As raízes são r1 = 0 e r2 = 3 .
Passo 6
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz: