Resolva o seguinte P.V.I.: cy^prime prime-3 y^prime=0 y(0)=2 y^prime(0)=4
Encontre a solução Geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! O enunciado pede para resolver um Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais lineares homogêneas, especialmente o método das raízes características. Vamos passo a passo entender como achar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação diferencial que temos:
y'' - 3y' = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 3

Para resolver, vamos usar o método das raízes características. Isso envolve substituir a equação diferencial por uma equação algébrica. Assumimos que a solução tem a forma y = e^rt , onde r é uma constante que precisamos encontrar. Então, derivamos:
y' = re^rt y'' = r^2 e^rt

Passo 4

Substituindo y , y' e y'' na equação diferencial:
r^2 e^rt - 3r e^rt = 0
Podemos dividir ambos os lados por e^rt (já que e^rt neq 0 ):
r^2 - 3r = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 - 3r = 0 r(r - 3) = 0
As raízes são r1 = 0 e r2 = 3 .

Passo 6

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada raiz:
y(t) = C1 e^0 cdot t + C2 e^3t y(t) = C1 + C2 e^3t
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2 . Temos:
y(0) = 2 y'(0) = 4
Primeiro, usamos y(0) = 2 :
2 = C1 + C2 e^0 2 = C1 + C2

Passo 8

Agora, derivamos y(t) para encontrar y'(t) :
y'(t) = 0 + 3C2 e^3t y'(t) = 3C2 e^3t
Aplicando y'(0) = 4 :
4 = 3C2 e^0 4 = 3C2 C2 = 43

Passo 9

Substituímos C2 na equação 2 = C1 + C2 :
2 = C1 + 43 C1 = 2 - 43 C1 = 23

Resposta

A solução geral do P.V.I. é:
y(t) = 23 + 43 e^3t

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