Seja f: R R uma função diferenciável, mostre que z=k f(ell n(x^2y))x satisfaz a equação diferencial
z+x partial zpartial x+2 y partial zpartial y=0

Passo 1

Estamos lidando com uma função diferenciável f: RtoR e definimos
z = k,fl(lntfracx^2yr)x
Queremos verificar que
z + xpartial zpartial x + 2ypartial zpartial y = 0
Para isso vamos usar regra da cadeia e derivação de potências.

Passo 2

Introduzimos a variável auxiliar
u = lnl(x^2yr)
e escrevemos
z = k,f(u),x^-1
Assim fica mais fácil aplicar a regra do produto/quociente para calcular partial z/partial x em função de f(u), f'(u) e u'.

Passo 3

Pela regra da cadeia e da potência:
partial zpartial x = kl(f'(u)partial upartial x,x^-1 + f(u)partial x^-1partial xr)
Agora só falta achar partial u/partial x e partial x^-1/partial x.

Passo 4

Como u=ln(x^2)-ln(y), temos
partial upartial x=2x, partial x^-1partial x=-x^-2
Substituindo em partial z/partial x:
partial zpartial x = kl(f'(u)2xx^-1 + f(u)(-x^-2)r) = kx^2l(2f'(u)-f(u)r)

Passo 5

Para partial z/partial y, usamos
partial upartial y=-1y,
e então
partial zpartial y = k,f'(u)partial upartial y,x^-1 = -k,f'(u)x,y

Passo 6

Finalmente, substituímos tudo na equação:
z = k,f(u)x, xpartial zpartial x=kxl(2f'(u)-f(u)r), 2ypartial zpartial y=-2k,f'(u)x
Somando:
k f(u)x+k(2f'(u)-f(u))x-2k f'(u)x =0
Logo a equação é satisfeita.

Resposta

Mostramos que de fato z + x ∂z/∂x + 2y ∂z/∂y = 0, logo a função z satisfaz a equação diferencial proposta.

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