Seja
uma função diferenciável, mostre que
satisfaz a equação diferencial
Passo 1
Estamos lidando com uma função diferenciável
e definimos
Queremos verificar que
Para isso vamos usar regra da cadeia e derivação de potências.
Passo 2
Introduzimos a variável auxiliar
e escrevemos
Assim fica mais fácil aplicar a regra do produto/quociente para calcular
em função de
,
e
.
Passo 3
Pela regra da cadeia e da potência:
Agora só falta achar
e
.
Passo 4
Como
, temos
Substituindo em
:
Passo 5
Para
, usamos
e então
Passo 6
Finalmente, substituímos tudo na equação:
Somando:
Logo a equação é satisfeita.
Resposta
Mostramos que de fato z + x ∂z/∂x + 2y ∂z/∂y = 0, logo a função z satisfaz a equação diferencial proposta.