Parametrize o conjunto dado.
(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o conjunto de pontos (x,y,z)inR^3 que satisfazem
x^2 + y^2 = 2x
O conteúdo aqui é reconhecer que essa é a equação de um cilindro cuja seção transversal no plano xy é o círculo centrado em (1,0) de raio 1. Vamos usar a parametrização-padrão de um círculo e depois adicionar o parâmetro livre para z.

Passo 2

Reescrevemos a equação
x^2 + y^2 = 2x
como
x^2 - 2x + y^2 = 0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1
Isso mostra que, para cada valor de z, o par (x,y) descreve um círculo de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 3

Para parametrizar o círculo (x-1)^2 + y^2 = 1, introduzimos um parâmetro theta de 0 a 2pi e escrevemos
x - 1 = costheta, y = sintheta
Logo,
x = 1 + costheta, y = sintheta

Passo 4

Não há restrição em z, então deixamos z como um parâmetro livre, digamos sinR. Com isso, a parametrização completa do cilindro é
phi(theta,s) = l(x(theta,s),,y(theta,s),,z(theta,s)r) = l(1 + costheta,;sintheta,;sr),
onde thetain[0,2pi) e sinR.

Resposta

A parametrização do conjunto (x,y,z)mid x^2+y^2=2x é
phi(theta,s) = l(1 + costheta,;sintheta,;sr), thetain[0,2pi),;sinR

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