Questão 2 ( 2,5 pontos) Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige que cada passageiro pague 900,00 \mathrm{R} $10,00$ para cada lugar vago no avião. Considerando estas condições, responda as questões abaixo:
a) (1,0 ponto) Escreva a receita da companhia como uma função do número de passageiros no avião, ou seja, a função que descreve o valor arrecadado pela companhia nesta excursão.
b) ponto) Determine o domínio da função .
c) pontos) Qual o número de passageiros que retorna a receita máxima para a companhia?
d) pontos) Determine a taxa de variação instantânea da função , em relação , quando . Interprete o resultado.

Passo 1

Beleza, a questão é sobre um avião com 120 lugares onde cada passageiro paga R$900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. O que temos que fazer:
  • Montar a função de receita em função do número de passageiros .
  • Definir o domínio de .
  • Achar quantos passageiros maximizam essa receita (vértice da parábola).
  • Calcular a taxa de variação instantânea (derivada) em e interpretar.
Conteúdo envolvido: funções quadráticas (para modelar a receita), domínio de função, vértice de parábola e derivada (noções de taxa de variação instantânea).

Passo 2

Montando a função R(x):
  1. Se há x passageiros, sobram 120 - x lugares vagos.
  2. Cada passageiro paga
900 + 10,(120 - x)
  1. Como são x passageiros, a receita total é
R(x) ;=; x;l[900 + 10,(120 - x)r]
  1. Agora é só distribuir e simplificar:
R(x) = x,(900 + 1200 - 10x) = x,(2100 - 10x) = 2100x ;-; 10x^2

Passo 3

Domínio da função R(x):
  • Em teoria de funções reais, o número de passageiros não pode ser negativo nem passar de 120.
  • Logo, 0 <= x <= 120.
  • Como x representa pessoas, na prática vale para xin0,1,2,dots,120, mas matematicamente o intervalo é [0,120].

Passo 4

Número de passageiros que gera receita máxima:
  • R(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo ( -10), então tem máximo.
  • O vértice de ax^2+bx+c ocorre em xv = -tfracb2a. Aqui a=-10 e b=2100.
xv = -21002cdot(-10) = 210020 = 105
Então, com 105 passageiros a receita é máxima.

Passo 5

Taxa de variação instantânea (derivada) em x=90:
  1. Derivada de R(x) = 2100x - 10x^2 é
R'(x) = 2100 - 20x
  1. Avaliando em x=90:
R'(90) = 2100 - 20cdot90 = 2100 - 1800 = 300
Interpretação: quando há 90 passageiros, cada passageiro a mais aumenta a receita em cerca de R$ 300.

Resposta

a) R(x) = 2100x - 10x^2
b) Domínio: 0 <= x <= 120 (ou xin0,1,dots,120)
c) Receita máxima em x=105 passageiros
d) R'(90)=300. Ou seja, aos 90 passageiros, cada passageiro extra gera R$ 300 a mais de receita.

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