Questão 2 ( 2,5 pontos) Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige que cada passageiro pague
900,00
\mathrm{R} $10,00$ para cada lugar vago no avião. Considerando estas condições, responda as questões abaixo:
a) (1,0 ponto) Escreva a receita
da companhia como uma função do número
de passageiros no avião, ou seja, a função
que descreve o valor arrecadado pela companhia nesta excursão.
b)
ponto) Determine o domínio da função
.
c)
pontos) Qual o número de passageiros que retorna a receita máxima para a companhia?
d)
pontos) Determine a taxa de variação instantânea da função
, em relação
, quando
. Interprete o resultado.
a) (1,0 ponto) Escreva a receita
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, a questão é sobre um avião com 120 lugares onde cada passageiro paga R$900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. O que temos que fazer:
- Montar a função de receita
em função do número de passageiros . - Definir o domínio de
. - Achar quantos passageiros maximizam essa receita (vértice da parábola).
- Calcular a taxa de variação instantânea (derivada) em
e interpretar.
Conteúdo envolvido: funções quadráticas (para modelar a receita), domínio de função, vértice de parábola e derivada (noções de taxa de variação instantânea).
Passo 2
Montando a função
:
- Se há
passageiros, sobram lugares vagos. - Cada passageiro paga
- Como são
passageiros, a receita total é
- Agora é só distribuir e simplificar:
Passo 3
Domínio da função
:
- Em teoria de funções reais, o número de passageiros não pode ser negativo nem passar de 120.
- Logo,
. - Como
representa pessoas, na prática vale para , mas matematicamente o intervalo é .
Passo 4
Número de passageiros que gera receita máxima:
-
é uma parábola com coeficiente de negativo ( ), então tem máximo. - O vértice de
ocorre em . Aqui e .
Então, com 105 passageiros a receita é máxima.
Passo 5
Taxa de variação instantânea (derivada) em
:
- Derivada de
é
- Avaliando em
:
Interpretação: quando há 90 passageiros, cada passageiro a mais aumenta a receita em cerca de R$ 300.
Resposta
a)
b) Domínio: (ou
)
c) Receita máxima em passageiros
d) . Ou seja, aos 90 passageiros, cada passageiro extra gera R$ 300 a mais de receita.
b) Domínio:
c) Receita máxima em
d)