Parametrize a curva C definida por
C:l 2 x+y=2 2 z^2+x^2+y=2
e esboce duas de suas projecies nos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar uma curva definida por duas equações e, depois, esboçar duas projeções dela nos planos coordenados. Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com a parametrização de curvas no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar manipular as equações dadas para expressar as coordenadas , e em termos de um parâmetro, geralmente representado por .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações que definem a curva 2x + y = 2 2z^2 + x^2 + y = 2 :
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para , e .

Passo 3

Começamos isolando uma das variáveis. Da primeira equação, podemos resolver para 2x + y = 2 implies y = 2 - 2x :
2z^2 + x^2 + (2 - 2x) = 2
Agora, vamos substituir essa expressão de na segunda equação:

Passo 4

Simplificando a equação resultante:
2z^2 + x^2 + 2 - 2x = 2
Subtraímos 2 de ambos os lados para simplificar:
2z^2 + x^2 - 2x = 0

Passo 5

Agora, vamos completar o quadrado para a expressão que envolve x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 . Olhando para 2z^2 + (x - 1)^2 - 1 = 0 implies 2z^2 + (x - 1)^2 = 1 , sabemos que:
Substituindo de volta na equação:

Passo 6

Observamos que a equação x - 1 = a cos t z = b sin t representa uma elipse no plano a^2 = 1 implies a = 1 2b^2 = 1 implies b = 1raiz2 . Isso nos dá uma pista sobre como parametrizar e usando um ângulo .
Sabemos que para uma elipse com semi-eixos de comprimentos diferentes, podemos usar:
Onde e são os semi-eixos. Comparando com nossa equação:

Passo 7

Agora, podemos expressar x(t) = 1 + cos t z(t) = 1raiz2 sin t e y(t) = 2 - 2(1 + cos t) = 2 - 2 - 2cos t = -2cos t em termos de :
E lembrando que , substituímos :

Resposta

A parametrização da curva x(t) = 1 + cos t y(t) = -2cos t z(t) = dfrac1raiz2 sin t é dada por:
Onde varia de a . Além disso, as projeções nos planos coordenados podem ser esboçadas usando essas equações paramétricas para , e .

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