e esboce duas de suas projecies nos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para parametrizar uma curva definida por duas equações e, depois, esboçar duas projeções dela nos planos coordenados. Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com a parametrização de curvas no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar manipular as equações dadas para expressar as coordenadas , e em termos de um parâmetro, geralmente representado por .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as equações que definem a curva :
Nosso objetivo é encontrar uma expressão para , e .
Passo 3
Começamos isolando uma das variáveis. Da primeira equação, podemos resolver para :
Agora, vamos substituir essa expressão de na segunda equação:
Passo 4
Simplificando a equação resultante:
Subtraímos 2 de ambos os lados para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos completar o quadrado para a expressão que envolve . Olhando para , sabemos que:
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Observamos que a equação representa uma elipse no plano . Isso nos dá uma pista sobre como parametrizar e usando um ângulo .
Sabemos que para uma elipse com semi-eixos de comprimentos diferentes, podemos usar:
Onde e são os semi-eixos. Comparando com nossa equação:
Passo 7
Agora, podemos expressar e em termos de :
E lembrando que , substituímos :
Resposta
A parametrização da curva é dada por:
Onde varia de a . Além disso, as projeções nos planos coordenados podem ser esboçadas usando essas equações paramétricas para , e .