Parametrize a curva C definida por
C:l y+x doteq 2 x^2=2 y^2+2 z^2
e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa parametrizar a curva y + x = 2 x^2 = 2 y^2 + 2 z^2 que é definida pelas equações:
Além disso, vamos esboçar duas projeções dessa curva nos planos coordenados. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira equação para expressar uma das variáveis em função da outra. A equação y = 2 - x nos permite isolar :
Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação para reduzir o número de variáveis.

Passo 3

Substituindo x^2 = 2 (2 - x)^2 + 2 z^2 na equação x^2 = 2 (4 - 4x + x^2) + 2 z^2 x^2 = 8 - 8x + 2x^2 + 2 z^2 , temos:
0 = 8 - 8x + x^2 + 2 z^2
Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre x^2 - 8x + 8 + 2 z^2 = 0 e :
Agora, movemos todos os termos para um lado da equação:
Isso pode ser rearranjado para:

Passo 4

Vamos tentar encontrar uma parametrização para z = t , x^2 - 8x + 8 + 2 t^2 = 0 e . Observando que temos duas equações com três variáveis, podemos escolher um parâmetro livre, digamos , e expressar , e em função de .
Vamos assumir que é o parâmetro . Então:
Agora, substituímos na equação simplificada:
Resolvemos essa equação quadrática para .

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática x = 8 pm raiz64 - 4 cdot 1 cdot (8 + 2 t^2)2 x = 8 pm raiz64 - 32 - 8 t^22 x = 8 pm raiz32 - 8 t^22 x = 8 pm 4 raiz2 - t^22 x = 4 pm 2 raiz2 - t^2 para x = 4 + 2 raiz2 - t^2 , usamos a fórmula de Bhaskara:
y = 2 - x = 2 - (4 + 2 raiz2 - t^2) = -2 - 2 raiz2 - t^2
Para simplificar, vamos escolher a solução com o sinal positivo:
Então, fica:

Passo 6

Agora, temos as expressões parametrizadas para x(t) = 4 + 2 raiz2 - t^2 y(t) = -2 - 2 raiz2 - t^2 z(t) = t , e em função de :
Essa é uma parametrização válida para a curva no intervalo onde , ou seja, .

Resposta

A parametrização da curva x(t) = 4 + 2 raiz2 - t^2 y(t) = -2 - 2 raiz2 - t^2 z(t) = t é dada por:
onde varia entre e . Além disso, para esboçar as projeções nos planos coordenados, basta substituir para a projeção no plano e para a projeção no plano .

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