e esboce duas de suas projeções nos planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa parametrizar a curva que é definida pelas equações:
Além disso, vamos esboçar duas projeções dessa curva nos planos coordenados. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira equação para expressar uma das variáveis em função da outra. A equação nos permite isolar :
Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação para reduzir o número de variáveis.
Passo 3
Substituindo na equação , temos:
Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma relação entre e :
Agora, movemos todos os termos para um lado da equação:
Isso pode ser rearranjado para:
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma parametrização para , e . Observando que temos duas equações com três variáveis, podemos escolher um parâmetro livre, digamos , e expressar , e em função de .
Vamos assumir que é o parâmetro . Então:
Agora, substituímos na equação simplificada:
Resolvemos essa equação quadrática para .
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática para , usamos a fórmula de Bhaskara:
Para simplificar, vamos escolher a solução com o sinal positivo:
Então, fica:
Passo 6
Agora, temos as expressões parametrizadas para , e em função de :
Essa é uma parametrização válida para a curva no intervalo onde , ou seja, .
Resposta
A parametrização da curva x(t) = 4 + 2 raiz2 - t^2 y(t) = -2 - 2 raiz2 - t^2 z(t) = t é dada por:
onde varia entre e . Além disso, para esboçar as projeções nos planos coordenados, basta substituir para a projeção no plano e para a projeção no plano .