Seja
tal que
. Se
é o. versor de
, mostre que
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um vetor
r(t) que nunca é zero para qualquer valor de
t . O vetor unitário
r(t) é definido como
r(t)|r(t)| . Precisamos mostrar que:
Vamos usar conceitos de derivadas de vetores e produtos escalares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
r(t) = r(t)|r(t)| . Para encontrar
r^prime(t) , vamos derivar essa expressão em relação a
t .
Passo 3
Usando a regra do quociente para derivadas, temos:
Sabemos que
ddt|r| = r cdot r^prime|r| , então substituindo na expressão:
Passo 4
Simplificando a expressão, temos:
Onde usamos
r = r|r| .
Passo 5
Agora, queremos calcular o produto escalar
r^prime cdot r^prime . Vamos substituir
r^prime na expressão:
Passo 6
Distribuindo o produto escalar:
Sabemos que
r^prime cdot r^prime = |r^prime|^2 e
r cdot r^prime = |r| (r cdot r^prime) .
Passo 7
Substituindo essas igualdades na expressão:
Fatorando
|r| no numerador:
Passo 8
Finalmente, simplificando
|r| dos termos:
Resposta
Portanto, mostramos que: