Seja r(t) tal que r(t) neq 0 forall t. Se r(t)=r(t)|r(t)| é o. versor de r, mostre que
r^prime cdot r^prime=|r^prime|^2-(r cdot r^prime)^2|r|

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um vetor r(t) que nunca é zero para qualquer valor de t. O vetor unitário r(t) é definido como r(t)|r(t)|. Precisamos mostrar que:
r^prime cdot r^prime = |r^prime|^2 - (r cdot r^prime)^2|r|
Vamos usar conceitos de derivadas de vetores e produtos escalares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que r(t) = r(t)|r(t)|. Para encontrar r^prime(t), vamos derivar essa expressão em relação a t.

Passo 3

Usando a regra do quociente para derivadas, temos:
r^prime = r^prime |r| - r ddt|r||r|^2
Sabemos que ddt|r| = r cdot r^prime|r|, então substituindo na expressão:
r^prime = r^prime |r| - r (r cdot r^prime|r|)|r|^2

Passo 4

Simplificando a expressão, temos:
r^prime = r^prime |r| - r r cdot r^prime|r||r|^2 = |r| r^prime - r (r cdot r^prime)|r|^2
Onde usamos r = r|r|.

Passo 5

Agora, queremos calcular o produto escalar r^prime cdot r^prime. Vamos substituir r^prime na expressão:
r^prime cdot r^prime = r^prime cdot ( |r| r^prime - r (r cdot r^prime)|r|^2 )

Passo 6

Distribuindo o produto escalar:
r^prime cdot r^prime = |r| r^prime cdot r^prime - r^prime cdot r (r cdot r^prime)|r|^2
Sabemos que r^prime cdot r^prime = |r^prime|^2 e r cdot r^prime = |r| (r cdot r^prime).

Passo 7

Substituindo essas igualdades na expressão:
r^prime cdot r^prime = |r| |r^prime|^2 - |r| (r cdot r^prime)^2|r|^2
Fatorando |r| no numerador:
r^prime cdot r^prime = |r| ( |r^prime|^2 - (r cdot r^prime)^2 )|r|^2

Passo 8

Finalmente, simplificando |r| dos termos:
r^prime cdot r^prime = |r^prime|^2 - (r cdot r^prime)^2|r|

Resposta

Portanto, mostramos que:
r^prime cdot r^prime = |r^prime|^2 - (r cdot r^prime)^2|r|

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